选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义
一、选择题
1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()
A.f(x0)0 B.f(x0)0
C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即f(x0)=-120.故应选B.
2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()
A.1 B.4
C.544
[答案] B
[解析] ∵y=limx0 [12(x+x)2-2]-(12x2-2)x
=limx0 (x+12x)=x
切线的斜率k=y|x=1=1.
切线的倾斜角为4，故应选B.
3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为4的点是()
A.(0,0) B.(2,4)
C.14，116 D.12，14
[答案] D
[解析] 易求y=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0=1，x0=12，P12，14.
4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
[答案] B
[解析] y=3x2-6x，y|x=1=-3.
由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.
5.设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()
A.2 B.-1
C.1 D.-2
[答案] B
[解析] limx0 f(1)-f(1-2x)2x=limx0 f(1-2x)-f(1)-2x
=-1，即y|x=1=-1，
则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.
6.设f(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及f(5)分别为()
A.3,3 B.3，-1
C.-1,3 D.-1，-1
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)=-5+8=3，f(5)=-1，故应选B.
8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()
A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，
y=3x20x+3x0(x)2+(x)3+x，
yx=3x20+1+3x0(x)+(x)2，
f(x0)=3x20+1，又k=4，
3x20+1=4，x20=1.x0=1，
故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.
9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()
A.0，23 B.0，56
C.23 D.2，56
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，
∵f(x)=limx0 (x+x)3-3(x+x)+23-x3+3x-23x
=3x2-3，切线的斜率k=3x20-3，
tan=3x20-3-3.
0，23.故应选A.
10.(2016福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为()
A.[-1，-12] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[12，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义.
∵y=2x+2，且切线倾斜角[0，4]，
切线的斜率k满足01，即01，
-1-12.
二、填空题
11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.
[答案] 4x-y-1=0
[解析] ∵f(x)=x2+3，x0=2
f(2)=7，y=f(2+x)-f(2)=4x+(x)2
yx=4+0 yx=4.即f(2)=4.
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2)
即4x-y-1=0.
12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.
[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)
[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).
∵f(x)=limx0 (x+x)-1x+x-x+1xx
=limx0 1+1x(x+x)=1+1x2.
切线的斜率k=1+11=2.
切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).
13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.
[答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.
14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.
[答案] 3x-y-11=0
[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值.
设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.
三、解答题
15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.
[解析] y=limx0 1x+x-1x-(x+x-x)x
=limx0 -xx(x+x)-xx+x+xx
=limx0 -1x(x+x)-1x+x+x=-1x2-12x .
y|x=4=-116-14=-516，
曲线在点P4，-74处的切线方程为：
y+74=-516(x-4).
即5x+16y+8=0.
16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的'直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).
[解析] (1)y=limx0 (x+x)3-3(x+x)-3x3+3xx=3x2-3.
则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率
k1=f(1)=0，
所求直线方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，
则直线l的斜率k2=f(x0)=3x20-3，
直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)
又直线l过点P(1，-2)，
-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，
x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，
解得x0=1(舍去)或x0=-12.
故所求直线斜率k=3x20-3=-94，
于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.
17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
[解析] y=limx0 f(x+x)-f(x)x
=limx0 x+x+1x+x-x+1xx
=limx0 xx(x+x)-x(x+x)xx
=limx0 (x+x)x-1(x+x)x
=x2-1x2=1-1x21，
y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
[解析] (1)y|x=1
=limx0 (1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3，
所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.
设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，
y|x=b=limx0 (b+x)2+(b+x)-2-(b2+b-2)x
=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1l2，所以3(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.
(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，
即l1与l2的交点坐标为16，-52.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.
所以所求三角形面积S=12-521+223=12512.
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