一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1.下列代数式中，归类于分式的是……………………………………………………( )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
2.下列各数中，不能被6整除的数是…………………………………………………( )
(A)18; (B)12; (C)9; (D)6.
3.下列方程中，无实数根的方程是……………………………………………………( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
4.如图，已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(5,0)与B(0,-4)，那么关于x的不等式kx+b<0的解集是……………………………( )
(A)x<5; (B)x>5; (C)x<-4; (D)x>-4.
5.如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是……………………………………………( )
(A)锐角三角形; (B)两直角边不等的直角三角形;
(C)钝角三角形; (D)等腰直角三角形.
6.下列命题：
①三角形一边的两个端点到这条边上高所在直线的距离相等;
②三角形一边的两个端点到这条边上中线所在直线的距离相等;
③三角形一边的两个端点到这条边所对的角的角平分线所在直线的距离相等.
其中，真命题的个数是………………………………………………………………( )
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)
7.如果分式 的值为0，那么x的值等于 .
8.分解因式： = .
9.方程 的解是 .
10.函数 的定义域是 .
11.如果反比例函数 的图像经过点A(2，y1)与B(3，y2)，那么 的值等于 .
12.在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是 .
13.在某次公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了调查统计，发现捐款数只有10元、20元、50元和100元四种情况，并初步绘制成不完整的条形图(如图).其中捐100元的人数占本年级捐款总人数的25%，那么本次捐款的中位数是 元.
14.李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟.如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是 .
15.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记 ， ，那么 = (用向量 、 表示).
16.已知等腰直角三角形的重心到它的直角顶点的距离为4cm，那么这个重心到此三角形另外两个顶点的距离都是 cm.
17.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的`一条面积等分线.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边BC上，且BD=2，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于 .
18.如图，已知在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△DEC，其中点A运动到点D，点B运动到点E，记旋转角为 ， ，如果AD//BC，那么 与 的数量关系为 .
三、解答题：(本大题共7题，满分78分)
19.(本题满分10分)
计算： .
20.(本题满分10分)
解不等式组：
21.(本题满分10分，每小题各5分)
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，sinA= ，AB=14，BD是AC边上的中线.
求：(1)△ABC的面积;
(2)∠ABD的余切值.
22.(本题满分10分，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分)
某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在50≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示.
x 50 80 100 120
y 40 34 30 26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费.
23.(本题满分12分，每小题各6分)
已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC.
(1)求证：EF∥AB;
(2)联结DE，当∠ADE=∠C时，求证： .
24.(本题满分12分，其中第(1)小题5分，第(2)小题7分)
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点A(4,0)，顶点为B.
(1)求顶点B的坐标;
(2)将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后抛物线的表达式.
25.(本题满分14分，其中第(1)小题3分，第(2)小题5分，第(3)小题6分)
已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D， .
(1)求：公共弦BC的长度;
(2)如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;
(3)如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长.
九年级数学参考答案及评分说明
一、选择题：
1.B; 2.C; 3.A; 4.A; 5.D; 6.B.
二、填空题：
7.7; 8. ; 9.1; 10.x≥0且x≠2; 11. ; 12. ;
13.20; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ;
18. .
三、解答题：
19.解：原式= ………………………………………(各2分)
= .……………………………………………………………………(2分)
20.解：由第一个不等式，得 .……………………………………………………(2分)
解得 .…………………………………………………………………………(1分)
由第二个不等式，得 .………………………………(1分)
整理，得 . …………………………………………………………………(1分)
解得 .…………………………………………………………………………(1分)
∴不等式的解集为 . ……………………………………………………(4分)
21.解：(1)作CH⊥AB，垂足为点H.
∵sinA= ，∴设CH=3x，那么AH=4x.…………………………………………(1分)
∵∠ABC=45°，∴BH=CH=3x.……………………………………………………(1分)
∵AB=14，∴4x+3x=14.…………………………………………………………(1分)
∴x=2，即CH=6.…………………………………………………………………(1分)
∴△ABC的面积等于42.…………………………………………………………(1分)
(2)作DM⊥AB，垂足为点M.
∵DM∥CH，AD=CD，∴DM=3，AM=4.………………………………………(2分)
∴BM=10.…………………………………………………………………………(1分)
∴ .………………………………………………………………(2分)
22.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b.
根据题意，得 ……………………………………………………(1分)
解得 ………………………………………………………………………(2分)
∴y关于x的函数解析式为 .……………………………………(1分)
(2)设现计划修建的时间为m天， ………………………………………………(1分)
则原计划修建的时间为(m+15)天.
根据题意，得 .……………………………………………(2分)
.
解得m=-75或m=60.………………………………………………………………(1分)
经检验，m=-75或m=60都是原方程的解，但m=-75不符合题意.…………(1分)
∴m=60.
∴y=38.
答：现计划平均每天的修建费为38万元. ……………………………………(1分)
23.证明：(1)∵BD=2AD，AE=2EC，∴ .………………………………(1分)
又∵DF∥AC，∴ .……………………………………………………(2分)
∴ .……………………………………………………………………(1分)
∴EF∥AB.…………………………………………………………………………(2分)
(2)∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB.……………………………(2分)
∴ .……………………………………………………………………(1分)
又∵BD=2AD，AE=2EC，∴ ， .………………………(1分)
∴ .……………………………………………………………………(1分)
∴ ，即 .………………………………………………(1分)
24.解：(1)根据题意，得0=16a+8.……………………………………………………(1分)
∴ .…………………………………………………………………………(1分)
∴抛物线的表达式为 .…………………………………………(1分)
∴ .………………(1分)
顶点B的坐标为(2,2).…………………………………………………………(1分)
(2)解法一 设平移后抛物线的表达式为 .…………………(1分)
由点B的坐标为(2,2)可得AB=OB= ，∠BAD=∠BOC=45°.
又∠DBA=∠CBO，∴△ABD≌△OBC.…………………………………………(1分)
∴AD=OC，即平移的距离为c.…………………………………………………(1分)
∴点D的坐标为(4-c,0).
∴ .………………………………………………(1分)
又∵平移后抛物线的对称轴为x=b.
∴b=2-c.……………………………………………………………………………(1分)
∴ .
解得c=2或c=0(不符合题意，舍去).………………………………………(1分)
∴平移后抛物线的表达式为 .……………………………………(1分)
解法二 原抛物线表达式为 ，
设平移后抛物线表达式为 (m>0，向左平移的距离).
即 .…………………………………(1分，1分)
由B的坐标为(2,2)可得AB=OB= ，∠BAD=∠BOC=45°，又∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC.………………………………………………………………(1分)
∴AD=OC，即 = .………………………………………………(2分)
解得m=2或m=0(不符合题意，舍去).……………………………………(1分)
∴平移后抛物线的表达式为 .……………………………………(1分)
25.解：(1)∵圆O与圆P相交于点B、C，∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH.
∵OB=9， ，∴OH=6.……………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………………………(1分)
(2)作PM⊥BD，垂足为点M.
由垂径定理，得BM=DM= .…………………………………………………(1分)
∴ ，即 .……………………………………(1分)
∴y关于x的函数解析式为 .…………………………………………(2分)
定义域为 .…………………………………………………………………(1分)
(3)(i)当点P在OA的延长线上时，
∵△BDE与△BPE相似，∴∠DBE=∠BPE.……………………………………(1分)
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，∴∠BPE=∠OPM.
而∠BPM=∠DPM，∴∠OPB=∠BPM=∠DPM.
∴BM=BH，即BD=BC.…………………………………………………………(1分)
∴ .
解得 ，即 .…………………………………………(1分)
(ii)当点P在线段OA上时，
作PN⊥BD，垂足为点N.
∵△BDE与△BPE相似，∴∠BDE=∠PBE.……………………………………(1分)
∵PD=PB，∴∠BDP=∠DBP.
∴∠PBE=∠DBP.
∴PH=PN.
∴BD=BC. …………………………………………………………………………(1分)
∵BN=DN，∴ .
∴ .
整理，得 .
∴ .
解得 .……………………………………………………………(1分)
综上所述，线段AP的长为 或 .
学识谷
