八年级年级下学年数学期末备考知识点
第四章相似图形
一.线段的比
1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成
ABmn
.
abcd
2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
,那么这四条线段a、
3.注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,
ab
与
ba
互为倒数;⑤比例的基本性质:若
ab
cd
,则ad=bc;若ad=bc,则
ab
cd
二.黄金分割
1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
ACAB
BCAC
,那么称线段AB被点C
黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
_A
6
图1_
_C
_B
AC:AB51
20.618:1
2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的.点.
四.相似多边形
1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.
2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
五.相似三角形
1.在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.
2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
3.全等三角形是相似三角形的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
5.相似三角形周长的比等于相似比.
6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的条件
1.相似三角形的判定方法:
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相
交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,l1//l2//l3,则
7图2_ABDEBCEF._l_1_l_2_l_33.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八.相似的多边形的性质
相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
九.图形的放大与缩小
1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
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