第一冊
第一章有理數
1.1正數和負數
以前學過的0以外的數前面加上負號“-”的書叫做負數。
以前學過的0以外的數叫做正數。
數0既不是正數也不是負數,0是正數與負數的分界。
在同一個問題中,分別用正數和負數表示的量具有相反的意義
1.2有理數
1.2.1有理數
正整數、0、負整數統稱整數,正分數和負分數統稱分數。
整數和分數統稱有理數。
1.2.2數軸
規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。
數軸的作用:所有的有理數都可以用數軸上的點來表達。
注意事項:⑴數軸的原點、正方向、單位長度三要素,缺一不可。
⑵同一根數軸,單位長度不能改變。
一般地,設是一個正數,則數軸上表示a的點在原點的右邊,與原點的距離是a個單位長度;表示數-a的點在原點的左邊,與原點的距離是a個單位長度。
1.2.3相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
數軸上表示相反數的兩個點關於原點對稱。
在任意一個數前面添上“-”號,新的數就表示原數的相反數。
1.2.4絕對值
一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。
一個正數的絕對值是它的本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。
在數軸上表示有理數,它們從左到右的順序,就是從小到大的順序,即左邊的數小於右邊的數。
比較有理數的大小:⑴正數大於0,0大於負數,正數大於負數。
⑵兩個負數,絕對值大的反而小。
1.3有理數的加減法
1.3.1有理數的加法
有理數的加法法則:
⑴同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加。
⑵絕對值不相等的餓異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的'絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
⑶一個數同0相加,仍得這個數。
兩個數相加,交換加數的位置,和不變。
加法交換律:a+b=b+a
三個數相加,先把前面兩個數相加,或者先把後兩個數相加,和不變。
加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2有理數的減法
有理數的減法可以轉化為加法來進行。
有理數減法法則:
減去一個數,等於加這個數的相反數。
a-b=a+(-b)
1.4有理數的乘除法
1.4.1有理數的乘法
有理數乘法法則:
兩數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。
任何數同0相乘,都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。
幾個不是0的數相乘,負因數的個數是偶數時,積是正數;負因數的個數是奇數時,積是負數。
兩個數相乘,交換因數的位置,積相等。
ab=ba
三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把後兩個數相乘,積相等。
(ab)c=a(bc)
一個數同兩個數的和相乘,等於把這個數分別同這兩個數相乘,再把積相加。
a(b+c)=ab+ac
數字與字母相乘的書寫規範:
⑴數字與字母相乘,乘號要省略,或用“”
⑵數字與字母相乘,當係數是1或-1時,1要省略不寫。
⑶帶分數與字母相乘,帶分數應當化成假分數。
用字母x表示任意一個有理數,2與x的乘積記為2x,3與x的乘積記為3x,則式子2x+3x是2x與3x的和,2x與3x叫做這個式子的項,2和3分別是着兩項的係數。
一般地,合併含有相同字母因數的式子時,只需將它們的係數合併,所得結果作為係數,再乘字母因數,即
ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因數,a與b分別是ax與bx這兩項的係數。
去括號法則:
括號前是“+”,把括號和括號前的“+”去掉,括號裏各項都不改變符號。
括號前是“-”,把括號和括號前的“-”去掉,括號裏各項都改變符號。
括號外的因數是正數,去括號後式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相同;括號外的因數是負數,去括號後式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。
1.4.2有理數的除法
有理數除法法則:
除以一個不等於0的數,等於乘這個數的倒數。
a÷b=a·(b≠0)
兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。0除以任何一個不等於0的數,都得0。
因為有理數的除法可以化為乘法,所以可以利用乘法的運算性質簡化運算。乘除混合運算往往先將除法化成乘法,然後確定積的符號,最後求出結果。
1.5有理數的乘方
1.5.1乘方
求n個相同因數的積的運算,叫做乘方,乘方的結果叫做冪。在an中,a叫做底數,n叫做指數,當an看作a的n次方的結果時,也可以讀作a的n次冪。
負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。
正數的任何次冪都是正數,0的任何正整數次冪都是0。
有理數混合運算的運算順序:
⑴先乘方,再乘除,最後加減;
⑵同極運算,從左到右進行;
⑶如有括號,先做括號內的運算,按小括號、中括號、大括號依次進行
1.5.2科學記數法
把一個大於10的數表示成a×10n的形式(其中a是整數數位只有一位的數,n是正整數),使用的是科學記數法。
用科學記數法表示一個n位整數,其中10的指數是n-1。
1.5.3近似數和有效數字
接近實際數目,但與實際數目還有差別的數叫做近似數。
精確度:一個近似數四捨五入到哪一位,就説精確到哪一位。
從一個數的左邊第一個非0數字起,到末位數字止,所有數字都是這個數的有效數字。
對於用科學記數法表示的數a×10n,規定它的有效數字就是a中的有效數字。
第二章一元一次方程
2.1從算式到方程
2.1.1一元一次方程
含有未知數的等式叫做方程。
只含有一個未知數(元),未知數的指數都是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程。
分析實際問題中的數量關係,利用其中的相等關係列出方程,是數學解決實際問題的一種方法。
解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值,這個值就是方程的解。
2.1.2等式的性質
等式的性質1等式兩邊加(或減)同一個數(或式子),結果仍相等。
等式的性質2等式兩邊乘同一個數,或除以同一個不為0的數,結果仍相等。
2.2從古老的代數書説起——一元一次方程的討論⑴
把等式一邊的某項變號後移到另一邊,叫做移項。
2.3從“買布問題”説起——一元一次方程的討論⑵
方程中有帶括號的式子時,去括號的方法與有理數運算中括號類似。
解方程就是要求出其中的未知數(例如x),通過去分母、去括號、移項、合併、係數化為1等步驟,就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式轉化,這個過程主要依據等式的性質和運算律等。
去分母:
⑴具體做法:方程兩邊都乘各分母的最小公倍數
⑵依據:等式性質2
⑶注意事項:①分子打上括號
②不含分母的項也要乘
2.4再探實際問題與一元一次方程
第三章圖形認識初步
3.1多姿多彩的圖形
現實生活中的物體我們只管它的形狀、大小、位置而得到的圖形,叫做幾何圖形。
3.1.1立體圖形與平面圖形
長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外稜柱、稜錐也是常見的立體圖形。
長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。
許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的,將它們適當地剪開,就可以展開成平面圖形。
3.1.2點、線、面、體
幾何體也簡稱體。長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、稜柱、稜錐等都是幾何體。
包圍着體的是面。面有平的面和曲的面兩種。
面和麪相交的地方形成線。
線和線相交的地方是點。
幾何圖形都是由點、線、面、體組成的,點是構成圖形的基本元素。
3.2直線、射線、線段
經過兩點有一條直線,並且只有一條直線。
兩點確定一條直線。
點C線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點M叫做線段AB的中點。類似的還有線段的三等分點、四等分點等。
直線桑一點和它一旁的部分叫做射線。
兩點的所有連線中,線段最短。簡單説成:兩點之間,線段最短。
3.3角的度量
角也是一種基本的幾何圖形。
度、分、秒是常用的角的度量單位。
把一個周角360等分,每一份就是一度的角,記作1;把1度的角60等分,每份叫做1分的角,記作1;把1分的角60等分,每份叫做1秒的角,記作1。
3.4角的比較與運算
3.4.1角的比較
從一個角的頂點出發,把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平分線。類似的,還有叫的三等分線。
3.4.2餘角和補角
如果兩個角的和等於90(直角),就説這兩個角互為餘角。
如果兩個角的和等於180(平角),就説這兩個角互為補角。
等角的補角相等。
等角的餘角相等。
第四章數據的收集與整理
收集、整理、描述和分析數據是數據處理的基本過程。
4.1喜愛哪種動物的同學最多——全面調查舉例
用劃記法記錄數據,“正”字的每一劃(筆畫)代表一個數據。
考察全體對象的調查屬於全面調查。
4.2調查中國小生的視力情況——抽樣調查舉例
抽樣調查是從總體中抽取樣本進行調查,根據樣本來估計總體的一種調查。
統計調查是收集數據常用的方法,一般有全面調查和抽樣調查兩種,實際中常常採用抽樣調查的方式。調查時,可用不同的方法獲得數據。除問卷調查、訪問調查等外,查閲文獻資料和實驗也是獲得數據的有效方法。
利用表格整理數據,可以幫助我們找到數據的分佈規律。利用統計圖表示經過整理的數據,能更直觀地反映數據規律。
4.3課題學習調查“你怎樣處理廢電池?”
調查活動主要包括以下五項步驟:
一、設計調查問卷
⑴設計調查問卷的步驟
①確定調查目的;
②選擇調查對象;
③設計調查問題
⑵設計調查問卷時要注意:
①提問不能涉及提問者的個人觀點;
②不要提問人們不願意回答的問題;
③提供的選擇答案要儘可能全面;
④問題應簡明;
⑤問卷應簡短。
二、實施調查
將調查問卷複製足夠的份數,發給被調查對象。
實施調查時要注意:
⑴向被調查者講明哪些人是被調查的對象,以及他為什麼成為被調查者;
⑵告訴被調查者你收集數據的目的。
三、處理數據
根據收回的調查問卷,整理、描述和分析收集到的數據。
四、交流
根據調查結果,討論你們小組有哪些發現和建議?
五、寫一份簡單的調查報告