同餘的定義:
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同,則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對於模m同餘,記作ab(modm),讀作a同餘於b模m。
同餘的性質:
①自身性:aa(modm);
②對稱性:若ab(modm),則ba(modm);
③傳遞性:若ab(modm),bc(modm),則ac(modm);
④和差性:若ab(modm),cd(modm),則a+cb+d(modm),a-cb-d(modm);
⑤相乘性:若ab(modm),cd(modm),則acbd(modm);
⑥乘方性:若ab(modm),則anbn(modm);
⑦同倍性:若ab(modm),整數c,則acbc(modm
關於乘方的預備知識:
①若A=ab,則MA=Mab=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd
被3、9、11除後的餘數特徵:
①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則Mn(mod9)或(mod3);
②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則MY-X或M11-(X-Y)(mod11);
費爾馬小定理:如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-11(modp)。
20.分數與百分數的應用
基本概念與性質:
分數:把單位1平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數。
分數的性質:分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。
分數單位:把單位1平均分成幾份,表示這樣一份的數。
百分數:表示一個數是另一個數百分之幾的數。
常用方法:
①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。
②對應思維方法:找出題目中具體的量與它所佔的率的直接對應關係。
③轉化思維方法:把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關係;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立,計算出相應的結果,然後再進行調整,求出最後結果。
⑤量不變思維方法:在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發生變化,總量不變。B、總量發生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化,但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數量關係單一化、量率關係明朗化。
⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。
⑧濃度配比法:一般應用於總量和分量都發生變化的'狀況。
21.分數大小的比較
基本方法:
①通分分子法:使所有分數的分子相同,根據同分子分數大小和分母的關係比較。
②通分分母法:使所有分數的分母相同,根據同分母分數大小和分子的關係比較。
③基準數法:確定一個標準,使所有的分數都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法:當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數值越大。
⑤倍率比較法:當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關係比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)
⑥轉化比較方法:把所有分數轉化成小數(求出分數的值)後進行比較。
⑦倍數比較法:用一個數除以另一個數,結果得數和1進行比較。
⑧大小比較法:用一個分數減去另一個分數,得出的數和0比較。
⑨倒數比較法:利用倒數比較大小,然後確定原數的大小。
⑩基準數比較法:確定一個基準數,每一個數與基準數比較。
22.分數拆分
一、將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式:
①=+
②=+(d為自然數);
23.完全平方數
完全平方數特徵:
1.末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3餘0或餘1;反之不成立。
3.除以4餘0或餘1;反之不成立。
4.約數個數為奇數;反之成立。
5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比:兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項,比號後面的數叫比的後項。
比值:比的前項除以後項的商,叫做比值。
比的性質:比的前項和後項同時乘以或除以相同的數(零除外),比值不變。
比例:表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質:兩個外項積等於兩個內項積(交叉相乘),ad=bc。
正比例:若A擴大或縮小几倍,B也擴大或縮小几倍(AB的商不變時),則A與B成正比。
反比例:若A擴大或縮小几倍,B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時),則A與B成反比。
比例尺:圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配:把幾個數按一定比例分成幾份,叫按比例分配