大學聯考文科數學主要考察考生對基礎知識的理解與掌握、基本解題技能的熟練與運用，所以我們應該通過多做文科數學模擬試卷來提升自己的熟練度，下面是小編為大家精心推薦的2018屆衡水中學大學聯考文科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)}，N={y|y=2x﹣1}，則M∩N等於( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
2.複數 的共軛複數是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
3.已知函式y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，則( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
4.平面α截半徑為2的球O所得的截面圓的面積為π，則球心到O平面α的距離為( )
A. B. C.1 D.2
5.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C：y2=8x相交於A、B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=( )
A. B. C. D.
6.已知某空間幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
7.拋擲兩枚質地的骰子，得到的點數分別為a，b，那麼直線bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函式y=f(x)的圖象關於直線x=3對稱，f(﹣1)=320且 ，則 的值為( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
9.3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，也就是在圓內割正多邊形，求的近似值，劉徽容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失唉，當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限近圓的面積，利用“割圓術”劉徽得到圓周率精確到小數點後兩位的計算值3.14，這就是著名的“徽率”，如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程式框圖，則輸出的n值為(參考資料：sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
10.已知函式f(x)= ，若關於x的方程f[f(x)]=0有且只有一個實數根，則實數a的取值範圍是( )
A.(﹣∞，0) B.(﹣∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞)
11.雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A、B，漸近線分別為l1、l2，點P在第一象限內且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D.
12.已知函式g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1，+∞)上的增函式.當實數m取最大值時，若存在點Q，使得過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的座標為( )
A.(0，﹣3) B.(2，﹣3) C.(0，0) D.(0，3)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上..
13.已知向量 ，則 = .
14.若變數x，y滿足 ，則點P(x，y)表示的區域的面積為 .
15.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，則c= .
16.某公司在進行人才招聘時，由甲乙丙丁戊5人入圍，從學歷看，這5人中2人為碩士，3人為博士：從年齡看，這5人中有3人小於30歲，2人大於30歲，已知甲丙屬於相同的年齡段，而丁戊屬於不同的年齡段，乙戊的學位相同，丙丁的學位不同，最後，只有一位年齡大於30歲的碩士應聘成功，據此，可以推出應聘成功者是 .
三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.已知正項等比數列{bn}(n∈N+)中，公比q>1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2.
(1)求證：數列{an}是等差數列;
(2)若cn= ，求數列{cn}的前n項和Sn.
18.某種零件按質量標準分為1，2，3，4，5五個等級，現從一批該零件巾隨機抽取20個，對其等級進行統計分析，得到頻率分佈表如下
等級 1 2 3 4 5
頻率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，求m，n;
(2)在(1)的條件下，從等級為3和5的所有零件中，任意抽取2個，求抽取的2個零件等級恰好相同的概率.
19.如圖，菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H是線段EF的中點.
(1)求證：FD∥平面AHC;
(2)求多面體ABCDEF的體積.
20.已知a為常數，函式f(x)=x2+ax﹣lnx，g(x)=ex(其中e是自然數對數的底數).
(1)過座標原點O作曲線y=f(x)的切線，設切點P(x0，y0)為，求x0的值;
(2)令 ，若函式F(x)在區間(0，1]上是單調函式，求a的取值範圍.
21.已知橢圓C1： + =1的離心率為e= 且與雙曲線C2： ﹣ =1有共同焦點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點作C1的切線l，求l與座標軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設橢圓C1的左、右頂點分別為A，B，過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸於點E，若C點滿足 ⊥ ， ∥ ，連結AC交DE於點P，求證：PD=PE.
請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的`題號塗黑，把答案填在答題卡上.[選修4-4座標系與引數方程]
22.已知曲線C的引數方程為 (θ為引數)在同一平面直角座標系中，將曲線C上的點按座標變換 得到曲線C′.
(1)求曲線C′的普通方程.
(2)若點A在曲線C′上，點B(3，0).當點A在曲線C′上運動時，求AB中點P的運動軌跡方程.
[選修4-5不等式選講]
23.已知函式f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}，求實數a的值;
(2)在(1)的條件下，若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立，求實數m的取值範圍.
2018屆衡水中學大學聯考文科數學模擬試卷答案一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)}，N={y|y=2x﹣1}，則M∩N等於( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
【考點】交集及其運算.
【分析】求出M中x的範圍確定出M，求出N中y的範圍確定出N，找出兩集合的交集即可.
【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4>0，即M={x|x>4或x<﹣1}，
N={y|y=2x﹣1}={y|y>0}，
則M∩N={x|x>4}，
故選：A.
2.複數 的共軛複數是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
【考點】複數代數形式的乘除運算.
【分析】直接由複數代數形式的乘除運算化簡複數z得答案.
【解答】解： = ，
則複數 的共軛複數是：﹣2i.
故選：D.
3.已知函式y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，則( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】先根據函式的最大值和最小值求得A和B，然後利用圖象中 ﹣ 求得函式的週期，求得ω，最後根據x= 時取最大值，求得φ.
【解答】解：如圖根據函式的最大值和最小值得 求得A=2，B=2
函式的週期為( ﹣ )×4=π，即π= ，ω=2
當x= 時取最大值，即sin(2× +φ)=1，2× +φ=2kπ+
φ=2kπ﹣
∵
∴φ=
故選C.
4.平面α截半徑為2的球O所得的截面圓的面積為π，則球心到O平面α的距離為( )
A. B. C.1 D.2
【考點】球的體積和表面積.
【分析】先求截面圓的半徑，然後求出球心到截面的距離.
【解答】解：∵截面圓的面積為π，
∴截面圓的半徑是1，
∵球O半徑為2，
∴球心到截面的距離為 .
故選：A
5.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C：y2=8x相交於A、B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=( )
A. B. C. D.
【考點】拋物線的簡單性質.
【分析】根據直線方程可知直線恆過定點，如圖過A、B分別作AM⊥l於M，BN⊥l於N，根據|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連線OB，進而可知 ，進而推斷出|OB|=|BF|，進而求得點B的橫座標，則點B的座標可得，最後利用直線上的兩點求得直線的斜率.
【解答】解：設拋物線C：y2=8x的準線為l：x=﹣2
直線y=k(x+2)(k>0)恆過定點P(﹣2，0)
如圖過A、B分別作AM⊥l於M，BN⊥l於N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，
點B為AP的中點、連線OB，
則 ，
∴|OB|=|BF|，點B的橫座標為1，
故點B的座標為 ，
故選D
6.已知某空間幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
【考點】由三檢視求面積、體積.
【分析】由三檢視知該幾何體是上半部分是直徑為1的球，下半部分是底面半徑為1，高為2的圓柱體的一半，由此能求出該幾何體的表面積.
【解答】解：由三檢視知該幾何體是上半部分是直徑為1的球，
其表面積為S1= =π，
下半部分是底面半徑為1，高為2的圓柱體的一半，
其表面積為S2= =4+3π，
∴該幾何體的表面積S=S1+S2=4+4π.
故選：A.
7.拋擲兩枚質地的骰子，得到的點數分別為a，b，那麼直線bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.
【分析】先求出基本事件總數n=6×6=36，由直線bx+ay=1的斜率 ，得到 ，利用列舉法求出滿足題意的(a，b)可能的取值，由此能求出直線bx+ay=1的斜率 的概率.
【解答】解：拋擲兩枚質地的骰子，得到的點數分別為a，b，
基本事件總數n=6×6=36，
∵直線bx+ay=1的斜率 ，∴ ，
滿足題意的(a，b)可能的取值有：
(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，
∴直線bx+ay=1的斜率 的概率p= = .
故選：B.
8.已知函式y=f(x)的圖象關於直線x=3對稱，f(﹣1)=320且 ，則 的值為( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
【考點】三角函式中的恆等變換應用.
【分析】把cosx﹣sinx提取 ，利用兩角和的餘弦函式公式的逆運算化為一個角的餘弦函式，即可求得cos(x+ )的值，然後利用誘導公式求出sin2x的值，進而求得等於f(7)，根據f(x)的圖象關於直線x=3對稱，得到f(3+x)=f(3﹣x)，即可推出f(7)=f(﹣1)可求出值.
【解答】解：∵ ，∴ cos(x+ )= ，得cos(x+ )= ，
又∵sin2x=﹣cos( +2x)=1﹣2cos2(x+ )=
∴ =f(7)
由題意y=f(x)關於直線x=3對稱
∴f(3+x)=y=f(3﹣x)
即f(7)=f(3+4)=f(3﹣4)=f(﹣1)=320，
故選C.
9.3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”，也就是在圓內割正多邊形，求的近似值，劉徽容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失唉，當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限近圓的面積，利用“割圓術”劉徽得到圓周率精確到小數點後兩位的計算值3.14，這就是著名的“徽率”，如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程式框圖，則輸出的n值為(參考資料：sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
【考點】程式框圖.
【分析】根據已知中的程式框圖可得，該程式的功能是計算並輸出變數n的值，模擬程式的執行過程，可得答案.
【解答】解：第1次執行迴圈體後，S=3cos30°= <3.14，不滿足退出迴圈的條件，則n=6，
第2次執行迴圈體後，S=6cos60°= =3<3.14，不滿足退出迴圈的條件，則n=12，
第3次執行迴圈體後，S=12sin15°≈3.106<3.14，不滿足退出迴圈的條件，則n=24，
第4次執行迴圈體後，S=24sin7.5°≈3.144>3.14，滿足退出迴圈的條件，
故輸出的n值為24，
故選：C.
10.已知函式f(x)= ，若關於x的方程f[f(x)]=0有且只有一個實數根，則實數a的取值範圍是( )
A.(﹣∞，0) B.(﹣∞，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞)
【考點】根的存在性及根的個數判斷.
【分析】利用換元法設f(x)=t，則方程等價為f(t)=0，根據指數函式和對數函式圖象和性質求出t=1，利用數形結合進行求解即可.
【解答】解：令f(x)=t，則方程f[f(x)]=0等價為f(t)=0，
由選項知a≠0，
當a>0時，當x≤0，f(x)=a•2x>0，
當x>0時，由f(x)=log2x=0得x=1，
即t=1，作出f(x)的圖象如圖：
若a<0，則t=1與y=f(x)只有一個交點，恆滿足條件，
若a>0，要使t=1與y=f(x)只有一個交點，
則只需要當x≤0，t=1與f(x)=a•2x，沒有交點，
即此時f(x)=a•2x<1，
即f(0)<1，
即a•20<1，
解得0
綜上0
即實數a的取值範圍是(﹣∞，0)∪(0，1)，
故選：B.
11.雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A、B，漸近線分別為l1、l2，點P在第一象限內且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D.
【考點】雙曲線的簡單性質.
【分析】求出雙曲線的頂點和漸近線方程，設P(m， m)，再由兩直線垂直和平行的條件，得到m，a，b的關係式，消去m，可得a，b的關係，再由離心率公式計算即可得到.
【解答】解：雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A(﹣a，0)、B(a，0)，
漸近線分別為l1：y= x，l2：y=﹣ x.
設P(m， m)，若PA⊥l2，PB∥l2，
則 =﹣1①，且 =﹣ ，②
由②可得m= ，
代入①可得b2=3a2，
即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，
則有e= =2.
故選B.
12.已知函式g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1，+∞)上的增函式.當實數m取最大值時，若存在點Q，使得過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的座標為( )
A.(0，﹣3) B.(2，﹣3) C.(0，0) D.(0，3)
【考點】利用導數求閉區間上函式的最值;定積分.
【分析】求出函式的導數，利用導數研究函式的單調性，求出m的最大值，結合過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，判斷函式的對稱性進行求解即可.
【解答】解：由g(x)= x3+2x﹣m+ ，得g′(x)=x2+2﹣ .
∵g(x)是[1，+∞)上的增函式，∴g′(x)≥0在[1，+∞)上恆成立，即x2+2﹣ ≥0在[1，+∞)上恆成立.
設x2=t，∵x∈[1，+∞)，∴t∈[1，+∞)，即不等式t+2﹣ ≥0在[1，+∞)上恆成立.
設y=t+2﹣ ，t∈[1，+∞)，
∵y′=1+ >0，
∴函式y=t+2﹣ 在[1，+∞)上單調遞增，因此ymin=3﹣m.
∵ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3.又m>0，故0
故得g(x)= x3+2x﹣3+ ，x∈(﹣∞，0)∪(0，+∞).
將函式g(x)的圖象向上平移3個長度單位，所得圖象相應的函式解析式為φ(x)= x3+2x+ ，x∈(﹣∞，0)∪(0，+∞).
由於φ(﹣x)=﹣φ(x)，
∴φ(x)為奇函式，
故φ(x)的圖象關於座標原點成中心對稱.
由此即得函式g(x)的圖象關於點Q(0，﹣3)成中心對稱.
這表明存在點Q(0，﹣3)，使得過點Q的直線若能與函式g(x)的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等.
故選：A
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上..
13.已知向量 ，則 = 2 .
【考點】平面向量的座標運算.
【分析】利用向量的座標運算性質、數量積運算性質即可得出.
【解答】解： ﹣2 =(﹣1，3)，
∴ =﹣1+3=2.
故答案為：2.
14.若變數x，y滿足 ，則點P(x，y)表示的區域的面積為 4 .
【考點】簡單線性規劃.
【分析】畫出約束條件的可行域，求出點的座標，然後求解區域的面積即可.
【解答】解：變數x，y滿足 表示的可行域如圖：
則點P(x，y)表示的區域的面積為： .
故答案為：4.
15.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，則c= 3 .
【考點】餘弦定理;正弦定理.
【分析】利用正弦定理、餘弦定理，化簡sinAcosB=2cosAsinB，結合a2﹣b2=c，即可求c.
【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得 • =2• • ，
所以a2+c2﹣b2=2(b2+c2﹣a2)，即a2﹣b2= ，
又a2﹣b2=c，解得c=3.
故答案為：3.
16.某公司在進行人才招聘時，由甲乙丙丁戊5人入圍，從學歷看，這5人中2人為碩士，3人為博士：從年齡看，這5人中有3人小於30歲，2人大於30歲，已知甲丙屬於相同的年齡段，而丁戊屬於不同的年齡段，乙戊的學位相同，丙丁的學位不同，最後，只有一位年齡大於30歲的碩士應聘成功，據此，可以推出應聘成功者是 丁 .
【考點】進行簡單的合情推理.
【分析】通過推理判斷出年齡以及學歷情況，然後推出結果.
【解答】解：由題意可得，2人為碩士，3人為博士;
有3人小於30歲，2人大於30歲;
又甲丙屬於相同的年齡段，而丁戊屬於不同的年齡段，
可推得甲丙小於30歲，故甲丙不能應聘成功;
又乙戊的學位相同，丙丁的學位不同，
以及2人為碩士，3人為博士，
可得乙戊為博士，故乙戊也不能應聘成功.
所以只有丁能應聘成功.
故答案為：丁.
三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.已知正項等比數列{bn}(n∈N+)中，公比q>1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2.
(1)求證：數列{an}是等差數列;
(2)若cn= ，求數列{cn}的前n項和Sn.
【考點】數列的求和;等差關係的確定.
【分析】(1)通過b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，進而可得結論;
(2)通過對cn= 分離分母，並項相加即可.
【解答】(1)證明：由題可知設數列首項b1>0，
∵b3+b5=40，b3b5=256，
∴ ，
解得q=2或q= (舍)，
又∵b3+b5=40，即 =40，
∴b1= = =2，
∴bn=2×2(n﹣1)=2n，
∴an=log2bn+2=n+2，
∴數列{an}是以3為首項、1為公差的等差數列;
(2)解：∵cn= = ﹣ ，
∴Sn= ﹣ + ﹣ …+ ﹣ = ﹣ = .
18.某種零件按質量標準分為1，2，3，4，5五個等級，現從一批該零件巾隨機抽取20個，對其等級進行統計分析，得到頻率分佈表如下
等級 1 2 3 4 5
頻率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，求m，n;
(2)在(1)的條件下，從等級為3和5的所有零件中，任意抽取2個，求抽取的2個零件等級恰好相同的概率.
【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率;收集資料的方法.
【分析】(1)通過頻率分佈表得推出m+n=0.45.利用等級係數為5的恰有2件，求出n，然後求出m.
(2)根據條件列出滿足條件所有的基本事件總數，“從x1，x2，x3，y1，y2，這5件日用品中任取兩件，等級係數相等”的事件數，求解即可.
【解答】解：(1)由頻率分佈表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1，
即 m+n=0.45.…
由抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，
得 .…
所以m=0.45﹣0.1=0.35.…
(2)：由(1)得，等級為3的零件有3個，記作x1，x2，x3;等級為5的零件有2個，
記作y1，y2.從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個零件，所有可能的結果為：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)
共計10種.…
記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級相等”.
則A包含的基本事件為(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4個.…
故所求概率為 .…
19.如圖，菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H是線段EF的中點.
(1)求證：FD∥平面AHC;
(2)求多面體ABCDEF的體積.
【考點】稜柱、稜錐、稜臺的體積;直線與平面平行的判定.
【分析】(1)由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四邊形ABEF為菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD.結合H是EF的中點，AB=2CD，得CD=FH，可得四邊形CDFH為平行四邊形，從而得到DF∥CH.再由線面平行的判定可得FD∥平面AHC;
(2)由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，結合已知可得四稜錐C﹣ABEF的高DA=2，三稜錐F﹣ADC的高AH= .然後由VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC求得多面體ABCDEF的體積.
【解答】(1)證明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四邊形ABEF為菱形，∴AB∥EF，則EF∥CD.
∵H是EF的中點，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四邊形CDFH為平行四邊形，則DF∥CH.
∵DF⊄平面AHC，HC⊂平面AHC，
∴FD∥平面AHC;
(2)解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四稜錐C﹣ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四邊形ABEF為邊長是4的菱形，
∴可求三稜錐F﹣ADC的高AH=2 .
∴VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC= = .
20.已知a為常數，函式f(x)=x2+ax﹣lnx，g(x)=ex(其中e是自然數對數的底數).
(1)過座標原點O作曲線y=f(x)的切線，設切點P(x0，y0)為，求x0的值;
(2)令 ，若函式F(x)在區間(0，1]上是單調函式，求a的取值範圍.
【考點】利用導數研究函式的單調性;利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)先對函式求導，f′(x)=2x+a﹣ ，可得切線的斜率k=2x0+a﹣ = = ，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在(0，+∞)上是增函式，可證
(2)由F(x)= = ，求出函式F(x)的導數，通過研究2﹣a的正負可判斷h(x)的單調性，進而可得函式F(x)的單調性，可求a的範圍.
【解答】解：(1)f′(x)=2x+a﹣ (x>0)，
過切點P(x0，y0)的切線的斜率k=2x0+a﹣ = = ，
整理得x02+lnx0﹣1=0，
顯然，x0=1是這個方程的解，又因為y=x2+lnx﹣1在(0，+∞)上是增函式，
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一實數解.故x0=1;
(2)F(x)= = ，F′(x)= ，
設h(x)=﹣x2+(2﹣a)x+a﹣ +lnx，則h′(x)=﹣2x+ + +2﹣a，
易知h'(x)在(0，1]上是減函式，從而h'(x)≥h'(1)=2﹣a;
①當2﹣a≥0，即a≤2時，h'(x)≥0，h(x)在區間(0，1)上是增函式.
∵h(1)=0，∴h(x)≤0在(0，1]上恆成立，即F'(x)≤0在(0，1]上恆成立.
∴F(x)在區間(0，1]上是減函式.
所以，a≤2滿足題意;
②當2﹣a<0，即a>2時，設函式h'(x)的唯一零點為x0，
則h(x)在(0，x0)上遞增，在(x0，1)上遞減;
又∵h(1)=0，∴h(x0)>0.
又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣ea+lne﹣a<0，
∴h(x)在(0，1)內有唯一一個零點x'，
當x∈(0，x')時，h(x)<0，當x∈(x'，1)時，h(x)>0.
從而F(x)在(0，x')遞減，在(x'，1)遞增，
與在區間(0，1]上是單調函式矛盾.
∴a>2不合題意.
綜合①②得，a≤2.
21.已知橢圓C1： + =1的離心率為e= 且與雙曲線C2： ﹣ =1有共同焦點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點作C1的切線l，求l與座標軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設橢圓C1的左、右頂點分別為A，B，過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸於點E，若C點滿足 ⊥ ， ∥ ，連結AC交DE於點P，求證：PD=PE.
【考點】直線與圓錐曲線的關係;橢圓的標準方程;橢圓的簡單性質.
【分析】(1)由橢圓的離心率e= ，得到a2=4b2，再結合橢圓與雙曲線有共同的交點及隱含條件解得a2，4b2，則橢圓的方程可求;
(2)由題意設出切線方程y=kx+m(k<0)，和橢圓方程聯立後由方程僅有一個實根得到方程的判別式等於0，即得到k與m的關係，求出直線在x軸和y軸上的截距，代入三角形的面積公式後化為含有k的代數式，然後利用基本不等式求最值;
(3)求出A，B的座標，設出D，E，C的座標，結合條件 ⊥ ， ∥ 可得D，E，C的座標的關係，把AC，
DE的方程都用D點的座標表示，求解交點P的座標，由座標可得P為DE的中點.
【解答】(1)解：由e= ，可得： ，即 ，
∴ ，a2=4b2①
又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②
聯立①②解得：a2=4，b2=1，
∴橢圓C1的方程為： ;
(2)解：∵l與橢圓C1相切於第一象限內的一點，
∴直線l的斜率必存在且為負，
設直線l的方程為：y=kx+m(k<0)，
聯立 ，消去y整理可得：
③
根據題意可得方程③只有一實根，
∴△= ，
整理可得：m2=4k2+1 ④
∵直線l與兩座標軸的交點分別為 且k<0，
∴l與座標軸圍成的三角形的面積 ⑤
④代入⑤可得： (當且僅當k=﹣ 時取等號);
(3)證明：由(1)得A(﹣2，0)，B(2，0)，
設D(x0，y0)，∴E(x0，0)，
∵ ，
∴可設C(2，y1)，
∴ ，
由 可得：(x0+2)y1=2y0，即 ，
∴直線AC的方程為： ，整理得： ，
點P在DE上，令x=x0代入直線AC的方程可得： ，
即點P的座標為 ，
∴P為DE的中點
∴PD=DE.
請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號塗黑，把答案填在答題卡上.[選修4-4座標系與引數方程]
22.已知曲線C的引數方程為 (θ為引數)在同一平面直角座標系中，將曲線C上的點按座標變換 得到曲線C′.
(1)求曲線C′的普通方程.
(2)若點A在曲線C′上，點B(3，0).當點A在曲線C′上運動時，求AB中點P的運動軌跡方程.
【考點】引數方程化成普通方程.
【分析】(1)利用座標轉移，代入引數方程，消去引數即可求曲線C′的普通方程;
(2)設P(x，y)，A(x0，y0)，點A在曲線C′上，點B(3，0)，點A在曲線C′上，列出方程組，即可求AB中點P的軌跡方程.
【解答】解：(1)將 代入 ，得C'的引數方程為
∴曲線C'的普通方程為x2+y2=1. …
(2)設P(x，y)，A(x0，y0)，又B(3，0)，且AB中點為P
∴有：
又點A在曲線C'上，∴代入C'的普通方程得(2x﹣3)2+(2y)2=1
∴動點P的軌跡方程為(x﹣ )2+y2= . …
[選修4-5不等式選講]
23.已知函式f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}，求實數a的值;
(2)在(1)的條件下，若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立，求實數m的取值範圍.
【考點】絕對值不等式的解法;函式恆成立問題.
【分析】(1)不等式f(x)≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，與{x|﹣1≤x≤5}相同，求實數a的值;
(2)在(1)的條件下，f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立，根據f(x)+f(x+5)的最小值≥m，可求實數m的取值範圍.
【解答】解：(1)由f(x)≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}，
所以 解得a=2.
(2)當a=2時，f(x)=|x﹣2|.
設g(x)=f(x)+f(x+5)，
於是
所以當x<﹣3時，g(x)>5;
當﹣3≤x≤2時，g(x)=5;
當x>2時，g(x)>5.
綜上可得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m對一切實數x恆成立，則m的取值範圍為(﹣∞，5].
學識谷
