一元二次方程的相關教案

　2.1一元二次方程

教學目標

【知識與技能】

探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項係數；能夠從實際問題中抽象出方程知識．

【過程與方法】

在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯絡．

【情感態度】

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，瞭解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．

【教學重點】

一元二次方程的概念.

【教學難點】

如何把實際問題轉化為數學方程.

教學過程

一、情景匯入，初步認知

問題1:已知一矩形的長為200c，寬150c．在它的中間挖一個圓，使剩餘部分的面積為原矩形面積的34，求挖去的圓的半徑xc應滿足的方程.（π取3）問題2：據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年後增加到108萬輛，求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應滿足的方程.你能列出相應的方程嗎？

【教學說明】為學生創設了一個回憶、思考的情境，又是本課一種很自然的引入，為本課的探究活動做好鋪墊．

二、思考探究，獲取新知

1.對於問題1：找等量關係：矩形的面積—圓的面積=矩形的面積×3/4

列出方程：200×150-3x2=200×150×3/4 ①

對於問題2：

等量關係：兩年後的汽車擁有量=前年的汽車擁有量×（1+年平均增長率）2

列出方程：75（1+x）2=1082 ②

2.能把①，②化成右邊為0，而左邊是隻含有一個未知數的二次多項式的形式嗎？讓學生展開討論，並引導學生把①，②化成下列形式：

①化簡，整理得x2-2500=0 ③

②化簡，整理得25x2+50x-11=0 ④

3.討論：方程③、④中的未知數的個數和次數各是多少？

【教學說明】分組合作、小組討論，經過討論後交流小組的結論，可以發現上述方程都不是所學過的方程，特點是兩邊都是整式，且整式的最高次數是2次.

【歸納結論】如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是隻含有一個未知數的二次多項式，那麼這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是常數且a≠0)，其中a，b，c分別叫作二次項係數、一次項係數、常數項.

4.讓學生指出方程③，④中的二次項係數、一次項係數和常數項.

【教學說明】讓學生充分感受所列方程的特點，再通過類比的方法得到定義，從而達到真正理解定義的目的..

三、運用新知，深化理解

1.見教材P27例題.

2.下列方程是一元二次方程的有.

【答案】 （5）

3.已知（+3）x2－3x－1=0是一元二方程，則的取值範圍是_____.

分析 ：一元二次方程二次項的係數不等於零.故≠－3.

【答案】 ≠-3

4.把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,並寫出二次項,二次項係數,一次項,一次項係數及常數項.

解 ：原方程化為一般形式是：5x2+8x－2=0(若寫成－5x2－8x+2=0,則不符合人們的習慣),其中二次項是5x2,二次項係數是5,一次項是8x,一次項係數是8,常數項是－2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式係數的負號).

5.關於x方程x2－3x=x2－x+2是一元二次方程，應滿足什麼條件？

分析 ：先把這個方程變為一般形式，只要二次項的係數不為0即可.

解 ：由x2－3x=x2－x+2得到（－1）x2+（－3）x－2=0,所以－1≠0，

即≠1.所以關於x的方程x2－3x=x2－x+2是一元二次方程，應滿足≠1.

6.一元二次方程（x+1）2－x=3（x2－2）化成一般形式是.

分析： 一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），對照一般形式可先去括號，再移項，合併同類項，得2x2－x－7=0.

【答案】 2x2－x－7=0

7.把方程－5x2+6x+3=0的二次項係數化為1,方程可變為( )

A.x2+6/5x+3/5=0 B.x2－6x－3=0

C.x2－6/5x－3/5=0 D.x2－6/5x+3/5=0

【答案】 C

注意方程兩邊除以－5,另兩項的符號同時發生變化.

8.已知方程(+2)x2+(+1)x－=0，當滿足______時，它是一元一次方程；當滿足______時，它是二元一次方程.

分析： 當＋2＝0，＝－2時，方程是一元一次方程；當＋2≠0，≠－2時，方程是二元一次方程.

【答案】 ＝－2≠－2

9.某型號的手機連續兩次降價，每個售價由原來的1185元降到了580元，設平均每次降價的百分率為x，則列出方程為____________

【答案】 1185(1－x)2=580

10.當常數a，b，c滿足什麼條件時，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？這時方程的二次項係數、一次項係數分別是什麼?當常數a，b，c滿足什麼條件時，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?

解：當a≠1時是一元二次方程，這時方程的二次項係數是a-1，一次項係數是-b；當a=1，b≠0時是一元一次方程.

【教學說明】這組練習目的在於鞏固學生對一元二次方程定義中幾個特徵的理解.進一步鞏固學生對一元二次方程的基本概念．

四、師生互動、課堂小結

先小組內交流收穫和感想，而後以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.

課後作業

佈置作業：教材“習題2.1”中第1、2、6題.

教學反思

本節課是一元二次方程的第一課時，通過對本節課的學習，學生將掌握一元二次方程的定義、一般形式、及有關概念，並學會利用方程解決實際問題.在教學過程中，注重重難點的體現.本節課內容對於學生整個中學階段的數學學習有著重大的意義，能否學好關係到日後學習的成敗，因此必須要讓學生吃透內容並且要真正能消化.