一. 教學內容:分類計數原理與分步計數原理、排列
二. 教學重、難點:
1. 分類計數原理,分步計數原理
2.
【典型例題
[例1] 有三個袋子,其中一個袋子裝有紅色小球20個,每個球上標有1至20中的一個號碼,一個袋子裝有白色小球15個,每個球上標有1至15中的一個號碼,第三個袋子裝有黃色小球8個,每個球上標有1至8中的一個號碼。
(1)從袋子裡任取一個小球,有多少種不同的取法?
(2)從袋子裡任取紅、白、黃色球各一個,有多少種不同的取法?
解:
(1)任取一個小球的方法可分三類,一類取紅球,有20種取法;一類取白球,有15種取法;一類取黃球,有8種取法。由分類計數原理共有20 15 8=43種不同取法。
(2)取三色小球各一個,可分三步完成,先取紅球。有20種取法;再取白球,有15種取法;最後取黃球,有8種取法。由分步計數原理,共有 種不同的取法。
[例2] 在所有的兩位數中,個位數字比十位數字大的兩位數有多少個?
解:分析個位數字,可分以下幾類:
個位是9,則十位可以是1,2,3,……,8中的一個,故有8個;
個位是8,則十位可以是1,2,3,……,7中的一個,故有7個;
與上同樣。
個位是7的有6個;
個位是6的有5個;
……
個位是2的只有1個。
由分類計數原理知,滿足條件的兩位數有 (個)
[例3] 如圖,小圓圈表示網路的結點,結點之間的連線表示它們有網線相聯,連線標註的數字,表示該網線單位時間內可以通過的最大資訊量,現從結點A向結點B傳遞資訊,資訊可以分開沿不同的路線同時傳遞,則單位時間內傳遞的最大資訊量為多少?
解:沿12?D5?D3路線傳遞的資訊最大量為3(單位時間內),沿12?D6?D4路線傳遞資訊的最大量為4……由於以上每個線路均能獨立完成這件事(傳遞資訊),故單位時間內傳遞的最大資訊量為3 4 6 6=19。
[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個區域塗色,每個區域塗一種顏色,相鄰的區域不能同色,那麼共有多少種不同的塗色方法?
解:分五步進行,第一步給5號域塗色有6種方法
第二步給4號塗有5種方法
第三步給1號塗有5種方法
第四步給2號塗有4種方法
第五步給3號塗有4種方法
根據分步計數原理,共有 值
(1) ;(3) 。
解:(1)由排列數公式,
得
整理得 或 (捨去) ∴
解得
(3)由排列數公式,得 ∴ ;
(2)
∴
(3)∵
[例7] 由0,1,2,3,4,5共六個數字可組成多少個沒有重複數字且能被5整除的六位數?
解:組成的六位數與順序有關,但首位不能排0,個位必須排0或5,因此分兩類:第一類:個位必須排0,此時前五位數由1,2,3,4,5共五個數字組成,這五個數字的每一個排列對應一個六位數,故此時有 個六位數。第二類:個位數排5,此時為完成這件事(構造出六位數)還應分兩步,第一步排首位,有4種排法,第二步排中間四位,有 個。
[例8] 用0,1,2,3,4五個數字組成的無重複數字的五位數中,其依次從小到大的排列。
(1)第49個數是多少?(2)23140是第幾個數?
解:(1)1、2是首數時各組成 個;2在萬位,0、1在千位的共有 個,還有23104比23140小,故23140是第 種方法,然後讓剩下的5個人(其中包括甲)站在中間的5個位置,有 種站法。
方法二:因為甲不在兩端,分兩步排隊,首先排甲,有 種方法,第二步讓其他6人站在其他6個位置上,有 種方法,第二步讓甲插入這6個人之間的空當中,有 種,故共有 種站法。
方法四:在排隊時,對7個人,不考慮甲的站法要求任意排列,有 種方法,因此共有 種排法,再考慮其餘5個元素的排法有 種。
方法二:甲、乙兩人不能站在兩端,應包括同時不在兩端,某一人在兩端,故用排異法,應減去兩種情況,同時在兩端,有 種不同站法。
(3)分三步:第一步,從甲、乙以外的5個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上,有 種方法,第三步,對甲、乙進行全排列,故共有 種不同站法。
(4)方法一:男生站在前4個位置上有 種站法,男女生站成一排是分兩步完成的,因此這種站法共有 種站法,這兩種站法都符合要求,所以四名男生站在一起,三名女生也站在一起的站法共有 種排法,然後排四名男生,有 種排法,根據分步計數原理,將四名男生站在一起,三名女生站在一起的站法有 種排法,在四名男生間的三個間隔共有三個位置安排三名女生,有 種排法符合要求,故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。
(6)在7個位置上任意排列7名學生,有排法 中每一種情況均以 種。
[例10] 某班開設的課程有語文、數學、英語、政治、物理、化學、生物、體育共8門。若星期一上午排4節不同的課,並且規定體育課不能排在第一節及第四節,那麼星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法?
解:若不排體育課,則有 ,且A中至少有一個奇數,則這樣的集合有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 高中物理 5個
2. 書架上、下兩層分別放有5本不同的數學書和4本不同的語文書,從中選兩本數學書和一本語文書,則不同的選法有 種( )
A. 9 B. 13 C. 24 D. 40
3. 不等式 B. 或 或
4. 已知 的值為( )
A. 7 B. 2 C. 6 D. 8
5. 2個男生和4個女生排成一排,其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有( )
A. 種
C. 種
6. 27位女同學排隊照相,第一排8人,第二排9人,第三排10人,則所有不同的排法種數為( )
A.
C.
二. 解答題
1. (1)某教學樓有三個不同的樓梯,4名學生要下樓,共有多少種不同的下樓方法?(2)有4名同學要爭奪3個比賽專案的冠軍,冠軍獲得者共有多少種可能?
2. 現有高一年級四個班學生34人,其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人,他們自願組成數學課外小組。
(1)選其中一人為負責人,有多少種不同的選法?
(2)每班選一名組長,有多少種不同的選法?
(3)推選兩人作中心發言,這兩人需來自不同的班級,有多少種不同的選法?
3. 解下列各式中的 值。
(1) (2)
【試題答案】
一. 選擇題
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C
二. 解答題
1. 解:
(1)4名學生分別下樓,即問題分4步完成。每名學生都有3種不同的下樓方法,根據分步計數原理,不同的下樓方法共有 種。
(2)確定3項冠軍人選可逐項完成,即分3步,第1項冠軍人選有4種可能,第2項與第3項也均有4種可能,根據分步計數原理:冠軍獲得者共有 (種)
(2)分四步,易知不同的選法總數
(種)
(3)分六類,每類又分兩步,從一、二班學生中各選1人,有 種不同的選法;從一、三班學生中各選1人,有 種不同選法;從一、四班學生中各選1人,有 種不同的選法;從二、三班學生中各選1人,有 種不同的選法,所以共有不同的選法數
∴
∴ (舍)
(2)
∴ (舍)
4. 解:
(1)先排乙有2種方法,再排其餘5位同學有 種排法。
(4) 種排法。
(5) 種排法。
(6)7個學生的所有排列中,3名女生交換順序得到的排列只對應一個符合題意的排隊方式,故共有 種排法。
等差數列的前n項和訓練題
1.若一個等差數列首項為0,公差為2,則這個等差數列的前20項之和為( )
A.360 B.370
C.380 D.390
答案:C
2.已知a1=1,a8=6,則S8等於( )
A.25 B.26
C.27 D.28
答案:D
3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a6=S3=12,則{an}的通項an=________.
解析:由已知a1+5d=123a1+3d=12a1=2,d=2.故an=2n.
答案:2n
4.在等差數列{an}中,已知a5=14,a7=20,求S5.
解:d=a7-a57-5=20-142=3,
a1=a5-4d=14-12=2,
所以S5=5a1+a52=52+142=40.
一、選擇題
1.(2011年杭州質檢)等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2=1,a3=3,則S4=( )
A.12 B.10
C.8 D.6
解析:選C.d=a3-a2=2,a1=-1,
S4=4a1+4×32×2=8.
2.在等差數列{an}中,a2+a5=19,S5=40,則a10=( )
A.24 B.27
C.29 D.48
解析:選C.由已知2a1+5d=19,5a1+10d=40.
解得a1=2,d=3.∴a10=2+9×3=29. X k b 1 . c o m
3.在等差數列{an}中,S10=120,則a2+a9=( )
A.12 B.24
C.36 D.48
解析:選B.S10=10a1+a102=5(a2+a9)=120 高中物理.∴a2+a9=24.
4.已知等差數列{an}的公差為1,且a1+a2+…+a98+a99=99,則a3+a6+a9+…+a96+a99=( )
A.99 B.66
C.33 D.0
解析:選B.由a1+a2+…+a98+a99=99,
得99a1+99×982=99.
∴a1=-48,∴a3=a1+2d=-46.
又∵{a3n}是以a3為首項,以3為公差的等差數列.
∴a3+a6+a9+…+a99=33a3+33×322×3
=33(48-46)=66.
5.若一個等差數列的前3項的和為34,最後3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數列有( )
A.13項 B.12項
C.11項 D.10項
解析:選A.∵a1+a2+a3=34,①
an+an-1+an-2=146,②
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2,
∴①+②得3(a1+an)=180,∴a1+an=60.③
Sn=a1+ann2=390.④
將③代入④中得n=13.
6.在項數為2n+1的等差數列中,所有奇數項的和為165,所有偶數項的和為150,則n等於( )
A.9 B.10
C.11 D.12
解析:選B.由等差數列前n項和的性質知S偶S奇=nn+1,即150165=nn+1,∴n=10.
二、填空題
7.設數列{an}的首項a1=-7,且滿足an+1=an+2(n∈N*),則a1+a2+…+a17=________.
解析:由題意得an+1-an=2,
∴{an}是一個首項a1=-7,公差d=2的等差數列.
∴a1+a2+…+a17=S17=17×(-7)+17×162×2=153.
答案:153
8.已知{an}是等差數列,a4+a6=6,其前5項和S5=10,則其公差為d=__________.
解析:a4+a6=a1+3d+a1+5d=6.①
S5=5a1+12×5×(5-1)d=10.②w
由①②得a1=1,d=12.
答案:12
9.設Sn是等差數列{an}的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=________.
解析:由等差數列的性質知S9=9a5=-9,∴a5=-1.
又∵a5+a12=a1+a16=-9,
∴S16=16a1+a162=8(a1+a16)=-72.
答案:-72
三、解答題
10.已知數列{an}的前n項和公式為Sn=n2-23n-2(n∈N*).
(1)寫出該數列的第3項;
(2)判斷74是否在該數列中.
解:(1)a3=S3-S2=-18.
(2)n=1時,a1=S1=-24,
n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-24,
即an=-24,n=1,2n-24,n≥2,
由題設得2n-24=74(n≥2),解得n=49.
∴74在該數列中.
11.(2010年課標全國卷)設等差數列{an}滿足a3=5,a10=-9.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值.
解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
a1+2d=5,a1+9d=-9,可解得a1=9,d=-2,
所以數列{an}的通項公式為an=11-2n.
(2)由(1)知,Sn=na1+nn-12d=10n-n2.
因為Sn=-(n-5)2+25,
所以當n=5時,Sn取得最大值.
12.已知數列{an}是等差數列.
(1)前四項和為21,末四項和為67,且各項和為286,求項數;
(2)Sn=20,S2n=38,求S3n.
解:(1)由題意知a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,
所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88.
所以a1+an=884=22.
因為Sn=na1+an2=286,所以n=26.
(2)因為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數列,
所以S3n=3(S2n-Sn)=54.
如何提高數學成績?
1、按部就班
數學是環環相扣的一門學科,哪一個環節脫節都會影響整個學習的程序。所以,平時學習不應貪快,要一章一章過關,不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。
2、強調理解
概念、定理、公式要在理解的基礎上記憶。每新學一個定理,嘗試先不看答案,做一次例題,看是否能正確運用新定理;若不行,則對照答案,加深對定理的理解。
3、基本訓練
學習數學是不能缺少訓練的,平時多做一些難度適中的練習,當然莫要陷入死鑽難題的誤區,要熟悉大學聯考的題型,訓練要做到有的放矢。
4、重視平時考試出現的錯誤。
訂一個錯題本,專門蒐集自己的錯題,這些往往就是自己的薄弱之處。複習時,這個錯題本也就成了寶貴的複習資料。
數學的學習有一個循序漸進的過程,妄想一步登天是不現實的。熟記書本內容後將書後習題認真寫好,有些同學可能認為書後習題太簡單不值得做,這種想法是極不可取的,書後習題的作用不僅幫助你將書本內容記牢,還輔助你將書寫格式規範化,從而使自己的解題結構緊密而又嚴整,公式定理能夠運用的恰如其分,以減少考試中無謂的失分。
如何學好數學
首先和敏捷對於來說固然重要,但良好的可以把效果提高几倍,這是先天因素不可比擬的。學好首先要過的是關。任何事情都有一個由量變到質變的循序漸進的積累過程。
一.。不等於瀏覽。要深入瞭解內容,找出重點,難點,疑點,經過思考,標出不懂的,有益於抓住重點,還可以培養自學,有時間還可以超前學習。
二.聽講。核心在。1。以聽為主,兼顧記錄。2。注重過程,輕結論。
3.有重點。4。提高聽課。
三.。像演電影一樣把課堂,整理筆記,
四.多做練習。1。晚上吃飯後,坐到書桌時,看數學最適合,2。做一道數學題,每一步都要多問個別為什麼,不能只滿足於課堂上的灌輸式傳授和書本上的簡單講述,要想提高必須要一步一步推 高中歷史,一步一步想,每個過程都必不可少,3。不要粗心大意,4。做完每一道題,要想想為什麼會想到這樣做,建立一種條件發射,關鍵在於每做一道題要從中得到東西,錯在哪,5。解題都有固定的套路。6還有大膽的誇獎自己,那是樹立信心的關鍵時刻,
五.總結。1。要將所學的知識變成知識網,從大主幹到分枝,清晰地深存在腦中,新題想到老題,從而一通百通。2。建立錯誤集,錯誤多半會錯上兩次,在有意識改正的情況下,還有可能錯下去,最有效的應該是會正確地做這道題,並在下次遇到同樣情況時候有注意的意識。3。週末再將一週做的題回頭看一番,提出每道題的思路方法。4有問題一定要問。
六.考前複習,1。前2周就要開始複習,做到心中有數,否則會影響發揮,再做一遍以前的錯題是十分必要的,據說有一個同學平時只有一百零幾,離只有一個月,把以前錯題從頭做一遍,最後他數學居然得了147分。2。要重視基礎,
另外,聽老師的話,勤學苦練不可少,沒有捷徑,要樂觀,有毅力,要有決心,還要有耐心,學數學是一個很長的過程,你的努力於回報往往不能那麼盡如人意的成正比,甚至會有下坡路的趨勢,但只要堅持下去,那條成績線會抬起頭來,一定能看到光明。
第一章《空間幾何體》測試題(二)
三、解答題
11.把一個圓錐截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4,母線長10cm,求圓錐的母長.
考查目的:考查圓錐、圓臺的概念和性質.
答案:cm.
解析:設圓錐的`母線長為,圓臺的上、下底半徑分別為.
12.畫出下列空間幾何體的三檢視:
考查目的:考查由直觀圖畫三檢視.
答案:⑴的三檢視如下:
⑵的三檢視如下:
解析:注意直觀圖與三檢視之間的關係,特別是各方向線段之間的比例轉化.
13.已知兩個圓錐有公共底面,且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上,若圓錐底面面積是這個球面面積的,求這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值.
考查目的:考查幾何體的體積的計算,通過球這個載體考查空間想象能力及推理運算能力.
  高三;
答案:.
解析:(畫出圖形,利用數形結合然後利用球及圓的性質求解)
如圖,設球的半徑為,圓錐的底面圓的半徑為,依題意得,即,∴,∴,∴,,∴.
14.(2010遼寧理)有四根長都為2的直鐵條,若再選兩根長都為的直鐵條,使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三稜錐形的鐵架,則的取值範圍是多少?
考查目的:考查空間想象能力以及靈活運用知識解決數學問題的能力.
答案:.
解析:根據條件,四根長為2的直鐵條與兩根長為的直鐵條要組成三稜錐形的鐵架,有以下兩種情況:⑴地面是邊長為2的正三角形,三條側稜長為2,,,如圖1,可知,,則,即,∴.
⑵構成三稜錐的兩條對角線長為,其他各邊長為2,如圖2,此時.
綜上可得,.
15.一個正四稜臺的兩底面邊長分別為,側面積等於兩個底面積之和,求這個稜臺的體積.
考查目的:考查運用稜臺公式進行綜合計算的能力.
答案:.
解析:如圖所示,設分別為下、上底面中心,分別為下、上底邊的中點,連結,,過作於,那麼,得.
在直角三角形中,,即稜臺的高為,∴體積為.
大學聯考數學最後衝刺六大注意事項
一、重點、查缺補漏。對前幾次各區模擬分類梳理、整合,既可按分類,也可按思想分類。強化聯絡、形成網路結構,以少勝多,以不變應萬變。
二、查詢錯題,分析病因,對症下藥。查錯題,分析病因,對症下藥,這是重點。
三、閱讀《說明》和《試題分析》,確保沒有知識盲點 。
四、注意基礎複習。迴歸課本、迴歸基礎、迴歸近年數學試題,把握通性通法 。
五、重視書寫表達的規範性和簡潔性 。重視書寫表達的規範性和簡潔性,掌握各類常見題型的表達模式,避免“會而不對、對而不全”現象的出現,力爭既對又全。
六、不要做難題 。臨考前應做一定量中、低檔題,以達到熟練基本方法、典型問題的目的,高中政治,一般不再做難題,要保持清醒的頭腦和良好的解題狀態。
扣在桌上的紙牌
八張編了號的紙牌扣在桌上,它們的相對位置如下圖所示:
1
2
3
4
5
6
7
8
關於這八張牌:
(1)其中至少有一張Q。
(2)每張Q都在兩張K之間。
(3)至少有一張K在兩張J之間。
(4)沒有一張JQ相鄰。
(5)其中只有一張A。
(6)沒有一張K與A相鄰。
(7)至少有一張K和另一張K相鄰。
(8)這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。
這八張牌中哪一張是A?
(提示:哪幾張紙牌可能是Q?)
答 案
根據{(1)其中至少有一張Q。}和{(2)每張Q都在兩張K之間。},在下列判斷中有一條且只有一條是對的:
(a)3號牌和6號牌是Q;
(b)只有3號牌是Q;
(c)只有6號牌是Q;
(d)只有4號牌是Q。
如果3號牌和6號牌都是Q,則有下列兩種可能(X代表未知的牌):
X
X
K
Q
K
K
Q
K
K
Q
K
X
Q
X
X
K
但這兩種可能都不符合{(3)至少有一張K在兩張J之間。},因此判斷(a)是不對的。
如果只有3號牌是Q,則6號牌就不可能是K,這是因為根據(3),一定有一張K在兩張J之間,而{(4)沒有一張JQ相鄰。}在這裡又不允許這種情況發生。根據前面的推理,6號牌不能是Q。根據(3)和{(6)沒有一張K與A相鄰。},6號牌又不能是A。因此6號牌只能是J。但這樣(3)和{(7)至少有一張K和另一張K相鄰。}不能同時得到滿足。因此判斷(b)也是不對的。
如果只有6號牌是Q.則有下列兩種可能:
X
X
X
X
X
X
X
K
K
Q
K
X
Q
X
X
K
在第一種可能中,(3)和(4)不能同時得到滿足;在第二種可
能中,(3)得不到滿足。因此,判斷(c)也是不對的。
於是,只有判斷(d)是正確的:只有4號牌是Q。
接下來根據(2),l號牌和6號牌是K。根據(3),5號牌和7號牌是J。
因此必定是下面這種情況:
K
X
X
Q
J
K
J
X
如果為了滿足(7),設2號牌和3號牌都是K,則根據(5),8號牌就是A。但(6)不允許這種情況發生。因此8號牌是(7)所要求的與一張K相鄰的K。
如果2號牌是一張A,則3號牌不能是Q(根據(2))不能是K(根據(6)),不能是J(根據(4))也不能是A(根據{(5)其中只有一張A。})。因此根據{(8)這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。},2號牌不能是A。根據(5),3號牌一定是那張唯一的A。
根據(2)、(5)和(6),2號牌一定是J。
所有的紙牌情況如下:
K
高中歷史
J
A
Q
J
K
J
K