2018屆齊齊哈爾高三數學理第二次月考模擬試卷及答案

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一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求)

1.若 M={x|﹣2 x 2}，N={x|y=log2(x﹣1)}，則M∩N=(　　)

A.{x|﹣2 x<0} B.{x|﹣1

2.複數 (i為虛數單位)，則|z|等於 (　　)

A.25 B.41 C.5 D.5

3.設φ∈R，則“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函式”的 (　　)

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

4.設x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，則|a+b|等於(　　)

A.5 B.10 C.25 D.10

5. 設函式f(x)=x2+4x+6，x≤0-x+6，x>0，則不等式f(x)

A.(-3，-1)∪(3，+∞) B.(-3，-1)∪(2，+∞)

C.(-3，+∞) D.(-∞，-3)∪(-1,3)

6.已知定義在R上的奇函式f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0,2]上是增函式，則(　　)

A.f(-25) < f(11) < f(80) B.f(80) < f(11)

C.f(11)< f(80)

7.設函式f(x)=xm+ax的導函式f′(x)=2x+1，則 的值等於 (　　)

A.56 B.12 C.23 D.16

8. 函式y=ln(1-x)的大致影象為 (　　)

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9.若tan α+1tan α=103，α∈(π4，π2)，則sin(2α+π4)的值為 (　　)

A.-210 B.210 C.3210 D.7210

10.△ABC中，AC=7，BC=2，B=60°，則BC邊上的高等於 (　　)

A.32 B.332 C.3+62 D.3+394

11.函式 的影象與函式 的影象所有交點的橫座標之和等於( ) A.2 B.4 C.6 D.8

12.若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b =( )

A.1 B. C. 1-ln2 D. 1-2ln2

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分)

13.已知命題p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”;命題q：“存在x∈R，使得x2+4x+a=0”.若命題

“p且q”是真命題，則實數a的取值範圍是__________.

14.設偶函式f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分影象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，則f(16)的值為________.

15.在△ABC中，M是BC的中點，AM=4，點P在AM上，且滿足AP→=3PM→，則PA→•(PB→+PC→)的值為___________.

16.在△ABC中，D為邊BC上一點，BD= DC， ADB=120°，AD=2，若 = ，

則 BAC=_______.

三、解答題：(解答應寫出文字說明，證明過程和演算步驟)

17. (本小題滿分12分)已知向量a=(4,5cos α)，b=(3，-4tan α)，α∈(0，π2)，a⊥b，求：

(1)|a+b|;(2)cos(α+π4)的值.

18.(本小題滿分12分)已知函式f(x)=(3sin ωx+cos ωx)cos ωx-12(ω>0)的最小正週期為4π..

(1)求f(x)的單調遞增區間;

(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c滿足(2a-c)cos B=bcos C，求函式f(A)的取值範圍.

19. (本小題滿分12分)已知△ABC的內角為A、B、C，其對邊分別為a、b、c，B為銳角，

向量 =(2sin B，-3)， =(cos 2B,2cos2B2-1)，且 ∥ .

(1)求角B的大小;(2)如果b=2，求S△ABC的最大值.

20.(本小題滿分12分)(1)在等差數列{an}中，已知a1=20，前n項和為Sn，且S10=S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，並求出它的最大值;

(2)已知數列{an}的通項公式是an=4n-25，求數列{|an|}的前n項和.

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21.(本小題滿分12分)已知函式f(x)=mx-mx，g(x)=3ln x.

(1)當m=4時，求曲線f(x)=mx-mx在點(2，f(2))處的切線方程;

(2)若x∈(1, e ](e是自然對數的底數)時，不等式f(x)-g(x)<3恆成立，求實數m的取值範圍.

(選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分)

22.[選修4-4：座標系與引數方程](本小題滿分10分)

在平面直角座標系xOy中，將曲線C1：x2+y2=1上的所有點的橫座標伸長為原來的3倍，縱座標伸長為原來的2倍後，得到曲線C2;在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，直線l的極座標方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.

(1)寫出曲線C2的引數方程和直線l的直角座標方程;

(2)在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離d最大，並求出此最大值.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函式f(x)=|x-1|.

(1)解不等式f(x-1)+f(x+3) 6;

(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求證：f(ab)>|a|fba.

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D C A B A D A C A B B C

填空：13. _______ _________14.________ __________

14._____-6__________16._______ ___________

17 解　(1)因為a⊥b，所以a•b=4×3+5cos α×(-4tan α)=0，

解得sin α=35.又因為α∈(0，π2)，所以cos α=45，tan α=sin αcos α=34，

所以a+b=(7,1)，因此|a+b|=72+12=52.

(2)cos(α+π4)=cos αcos π4-sin αsin π4=45×22-35×22=210.

18 解：(1)f(x)=3sin ωxcos ωx+cos2 ωx-12=sin2ωx+π6，∵T=2π2ω=4π，∴ω=14，

∴f(x)=sin12x+π6，∴f(x)的單調遞增區間為4kπ-4π3，4kπ+2π3(k∈Z).

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C，∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C，

2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，∴cos B=12，∴B=π3.∵f(A)=sin12A+π6，0

∴π6

19解　(1)m∥n⇒2sin B•(2cos2B2-1)+3cos 2B=0⇒sin 2B+3cos 2B=0⇒2sin(2B+π3)=0(B為銳角)

⇒2B=2π3⇒B=π3.

(2)cos B=a2+c2-b22ac⇒ac=a2+c2-4≥2ac-4⇒ac≤4.S△ABC=12a•c•sin B≤12×4×32=3.

20 解　(1)方法一　∵a1=20，S10=S15，

∴10×20+10×92d=15×20+15×142d，∴d=-53.

∴an=20+(n-1)×-53=-53n+653.

∴a13=0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，

∴當n=12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13=S12=12×20+12×112×-53=130.

(2)∵an=4n-25，an+1=4(n+1)-25，∴an+1-an=4=d，又a1=4×1-25=-21.

所以數列{an}是以-21為首項，以4為公差的'遞增的等差數列.

令an=4n-25<0，　　　　　　①an+1=4n+1-25≥0， ② 由①得n<614;由②得n≥514，所以n=6.

即數列{|an|}的前6項是以21為首項，公差為-4的等差數列，從第7項起以後各項構成公差為4的等差數列，

而|a7|=a7=4×7-25=3.設{|an|}的前n項和為Tn，則

Tn=21n+nn-12×-4 n≤666+3n-6+n-6n-72×4 n≥7=-2n2+23n n≤6，2n2-23n+132 n≥7.

21解：(1)f(x)=4x-4x的導數為f′(x)=4+4x2，可得在點(2，f(2))處的切線斜率為k=4+1=5，切點為(2,6)，可得切線的方程為y-6=5(x-2)，即為y=5x-4.

(2)x∈(1, e ]時，不等式f(x)-g(x)<3恆成立，即為mx-1x<3ln x+3在(1，e ]恆成立，

由1

由h(x)=3xln x+xx2-1的導數為h′(x)=3-2-ln x-x2ln xx2-12，

可得1

可得m<9e2e-1.則m的範圍是-∞，9e2e-1.

22解：(1)由題意知，曲線C2方程為x32+y22=1，引數方程為x=3cos φy=2sin φ(φ為引數).直線l的直角座標方程為2x-y-6=0.

(2)設P(3cos φ，2sin φ)，則點P到直線l的距離為

d=|23cos φ-2sin φ-6|5=|4sin60°-φ-6|5.

∴當sin(60°-φ)=-1時，d取最大值25，此時取φ=150°，點P座標是-32，1.

23(1)解：由題意，原不等式等價為|x-2|+|x+2|≥6，

令g(x)=|x-2|+|x+2|=-2x，x≤-24，-2

所以不等式的解集是(-∞，-3]∪[3，+∞).

(2)證明：要證f(ab)>|a|fba，只需證|ab-1|>|b-a|，

只需證(ab-1)2>(b-a)2，

而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0，

從而原不等式成立.