1、希尔伯特的《几何基础》的五组公理之一：
同一平面内，过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。
2、欧几里得的'定义：
如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
3、平行公理的推论
定义：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4、平行线性质定理
(1)平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线;AB平行于CD，AB∥CD
(2)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
(3)平行公理的推论(平行的传递性)：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∵A∥C，C∥BA∥B
5、平行线的判定
(1)两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单说成：内错角相等，两直线平行。
(3)两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
6、平行线的性质
(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
(3)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
(4)两个角的数量关系两直线的位置关系：垂直于同一直线的两条直线互相平行;平行线间的距离，处处相等;如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
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