文章摘要：国小数学难题解法大全之特殊解题方法:穷举法。
【穷举法】
解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。
例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3.28）
分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。
解：3×4=12
答：共有12条路线。
例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。（1992年国小数学奥林匹克初赛试题）
分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。
4×（1+2+3）=24 （5+1+2）×3=24
6×（3+2-l）=24
8×3×（2-1）=24 9×3—1—2—24
10×2+l+3=24 11×2+3-l=24
12×（3+1-2）=24
通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。
答：可用的数有9个。
例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有____个。（1993年全国国小数学竞赛预赛试题）
分析：根据题中所给的数字可知：
三位数的百位数只能有三种选择：
十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；
个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。
解：把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。
305， 307， 350， 357， 370， 375；
503， 507， 530， 537， 570， 573；
703， 705， 730， 735， 750， 753
答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。
例4 数一数图3.30中有多少个大小不同的三角形？
分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四类。
A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；
B类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上，一个尖朝下。
C类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都朝上。
D类：是最大的三角形，图中只有1个。
解：16+7+3+1=27（个）
答：图中有大小不同的三角形共27个。
一年级下册奥数辅导13 火柴棍游戏（二）
文章摘要：在火柴棍算式中，数字和运算符号都是由火柴棍组成的。增、减或移动算式中的火柴棍，可使算式发生令人难以予料的奇妙变化。大胆尝试和思维敏捷在解火柴棍算式中尤为重要。
在火柴棍算式中，数字和运算符号都是由火柴棍组成的。增、减或移动算式中的火柴棍，可使算式发生令人难以予料的奇妙变化。大胆尝试和思维敏捷在解火柴棍算式中尤为重要。
在这里，我们规定了下面的一套数字摆法：
另外，在这里的运算符号如“+”号、“-”号也是由火柴棍组成的
这样一来，用增减或移动火柴棍的办法也可以使“+”号变“-”号或使“-”号变“+”。
需要事先着重说明的是，这里“移动”火柴棍的意思是指把火柴棍从一个数字或运算符号上拿开，然后添到另一个数字或运算符号上去，因此算式中火柴棍的总数是不变的。
例1 只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。
解：可以这样想：要使等式成立，可以减小被减数。在上面的等式中，7是由两根火柴棍构成的，去掉一根横棍，“7”就要变成了“1”.但是1-1=0，要使等式成立只要把那根火柴棍添到减号上，使减号变成加号就可以成为1+1=2的等式了。
例2 只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。
解：因为14+7-4=17，要使等式右边等于11可以采用多减、少加的办法。通过改变运算符号就可以达到多减少加的目的。
例3 只许移动一根火柴棍，使下式成立。
解：不难看出，等号左边数太大，要使大数变小。经尝试可得出办法如下：只移动了一根火柴棍，使算式发生了惊人的奇妙变化!
国小数学难题解法大全之特殊解题方法（二）[1]
文章摘要：国小数学难题解法大全之特殊解题方法：设数法。
【设数法】
有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。
给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。
例1 判断下列各题。（对的打√，错的打×）
（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1.（ ）
（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）
以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。
第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。
由上表看出，正方体的棱长扩大2倍，体积扩大8倍；棱长扩大4倍，体积扩大64倍……这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。
几分之几?
分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。男生人数则为
女生人数比男生人数少几分之几，则为
解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。
分析：这道题似乎条件不够，不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。
假设去时每小时走20千米，那么A、B两地的路程就是：
沿原路回家的速度则为：
回家时所需的时间则为：
解：把全路程看作单位“1”。
例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。
（1993年国小数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷）
分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“ 1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人，则甲校学生为：
500×40%= 200（人）
由甲校女生数是甲校学生数的30%，则甲校女生数为：
200×30%=60（人）
由乙校男生数是乙校学生数的42%，则乙校女生数为：
500×（1-42%）=290（人）
文章摘要：国小数学难题解法大全之特殊解题方法：设数法。
两校学生总数为：
500+200=700（人）
两校女生总数为：
60+290=350（人）
则两校女生总数占两校学生总数的百分比为：
350÷700=50%
解：[500×40%×30%+500×（1-42%）]÷（500+200）
=[60+290] ÷700
=350÷700
=50%
或[40%×30%+（1-42%）]÷（1+40%）=50%
答：两校女生总数是两校学生总数的50%.
例7 如图3.32，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分的面积。
分析：一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径，再求圆面积，然后用正方形的面积减去圆面积，即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1，运用国小的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几，再计算阴影部分的面积。
设正方形的边长为1，正方形的面积则为：
12=1
圆的半径则为：
圆面积占正方形面积的百分比为：
阴影部分的面积占正方形面积的百分比为
1-78.5%=21.5%
由此可知阴影部分的面积为
20×21.5%=4.3（平方厘米）
解：设正方形的边长为1，则阴影部分的面积为
=20×21.5%
=4.3（平方厘米）
答：阴影部分的面积为4.3平方厘米。
注意：如果把正方形的边长设为其它数，计算的结果都是相同的。
一年级下册奥数辅导14 火柴棍游戏（三）
文章摘要：用火柴棍不但可以在桌面上摆出三角形、四边形等平面图形，而且还可以搭出立体图形，如正方体、长方体。还可以摆出棱台和棱锥等立体图形，只是要你更耐心些，更细心些。
用火柴棍不但可以在桌面上摆出三角形、四边形等平面图形，而且还可以搭出立体图形，如正方体、长方体。还可以摆出棱台和棱锥等立体图形，只是要你更耐心些，更细心些。其实这些都不难，只要用橡皮泥把火柴棍按要求粘起来，一个个立体模型骨架就会在你的桌面上“站”起来了。这种活动大有好处，既能锻炼动手能力，又能增强空间想像力。
立体模型做好之后，你再仔细进行观察，数一数每个立体的顶点、棱和面的数目，然后再经过简单的计算就可能重新发现250多年前大数学家欧拉提出的一个著名公式；如果你在惊奇之余，不满足于对欧拉的敬佩和对公式的赞美，那就请你模仿欧拉、学习欧拉，也来搞点创造性的思维活动-用火柴棍当工具，做一次亲身发现数学公式的尝试吧。
例1 以下各小题做立体模型要用橡皮泥粘接。
(1)用六根火柴棍搭成一个四面体。
(2)用八根火柴棍搭成一个四棱锥。
(3)用十二根火柴棍搭成一个正方体。
(4)用九根火柴棍搭成一个三棱柱。
解：
数数、想想、算算
数一数你做出的各个立方体的顶点的个数、棱的'条数（即火柴棍的根数）、面数（需要想像出来）是多少?
算一算，每个立方体的顶点数-棱数+面数=?再把数据列成表。
解：
进一步想，任何一个立体图形的顶点数、棱数、面数之间都有这种关系吗?这是多么奇妙的事情呀!
立体又叫多面体。任何一个多面体都有
这叫欧拉公式，最早是法国大数学家笛卡儿发现的，后来大数学家欧拉在1732年正式提出并给予了证明。
同学们，我们利用火柴棍这种简单的东西，做做、想想、数数、算算又发现了大数学家们在250多年前曾经发现的简单而又准确的事实，这对我们不是很富有启发的吗?我们能不能也发现一个公式呢?
例2 让我们也来发现一个公式吧!见下图。
模仿欧拉，数一数自己做的等边三角形、正方形、菱形的顶点数、边数和面数（由边围住的面数）
填入下表(一)
进一步，我们再研究下列那些更复杂的图形。见下图。不过这时，我们需要把顶点数改为“交点数”（注意顶点也是交点）。把由几条边围起来的平面部分的个数叫“小区域数”，为简单起见，我们不再用火柴棍摆，而是画出来就行了。
同样把交点数，边数和由边围成的面数填入下表(二)
解：表一
表二
得出公式：对于任何一个复杂的平面图形
同学们看，我们不是也能发现公式吗?希望大家在学习的过程经常想着：我能接着发现点什么?
国小数学难题解法大全之速算公式（二）[1]
文章摘要：国小数学难题解法大全之速算公式：首同末合十的两位数相乘公式、末同首合十的两位数相乘公式、两个末位是1的两位数相乘公式、两个首位是1的两位数相乘公式、接近100的两个数相乘公式。
【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
=a（a+1）×100+bc。
根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如
256×254
可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c（a+b）+c2
=100ab+100c+c2
=（ab+c）×100+c2.
根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+42
=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是
（10a+1）（10b+1）=100ab+10a+10b+12
=10a×10b+（a+b）×10+1
由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
=3500+12091
=3621.
这样的题目，口算的方法可以是：
【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：
（10+a）（10+b）=100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272.
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。
（1）两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是
a·b=（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096.
文章摘要：国小数学难题解法大全之速算公式：首同末合十的两位数相乘公式、末同首合十的两位数相乘公式、两个末位是1的两位数相乘公式、两个首位是1的两位数相乘公式、接近100的两个数相乘公式。
快速口算的思考方法可以是：
又如，103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
（2）两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是
a· b=（100-h）（100-k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。
例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
又如，89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832.
快速口算的思考方法可以是
（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
=（a-k）×100-hk。
由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
=10088
快速口算思考方法可以是
一年级下册奥数辅导15 点、线、角
直线
拉直的绳子，它的形状就是直线。
用笔沿着尺子的边画，能画出直线。直线有两个方向。
点
笔的尖端处，它的形状是点。地图上，北京的位置用点表示。点用大写的英文字母A、B、C…表示。如点A、点B…
用笔画线，可以看作笔尖的点，在纸上运动。点可运动成线。线有直线、曲线和折线。
想一想：过一个点能画几条直线?过两点又能画几条直线?
过一点能画很多条直线；过两点只能画一条直线。
线段
直线上任取两点，这两点间的部分叫做线段。
线段有两个端点。在图中的线段，左端点是A，右端点是B，这条线段叫做线段AB.
把一张纸折一下，纸的折痕就是一条线段。
尺子的边，书本的边都是线段。
在点A和点B之间，能画几条线段?能画几条曲线或折线?哪条最短?
在两点之间，只能画一条线段，但可以画很多条曲线，也能画很多条折线。
通过两点所画的线中，以线段为最短。
射线
直线上一个点A，把直线分成两部分，每部分都叫做射线。A叫做射线的端点。
射线只有一个方向。上图中左侧的射线方向向左;右侧的射线方向向右。
射线也用两个大写的英文字母表示。例如，射线的端点用A表示，在射线上再任取一点用B表示。这条射线就叫做射线AB。
想一想：直线、射线、线段的区别?
直线没有端点。
射线有一个端点。
线段有两个端点。
角
把两根木条的端点钉在一起，绕端点转木条，可以得到各种形状。
把每根木条看作射线。有公共端点的两条射线所形成的图形叫做角。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
用一张纸，对折两次，折出四个形状一样的角叫做直角。
三角板有三个角，其中一个角是直角。用三角板的直角去比一比，的确和折出的直角一样大。
例1 下面各图是什么图形?
〔解〕图(1)是直线；图(2)是曲线；图(3)是线段；图(4)是射线；图(5)是角；图(6)是三个点。
例2 你能用A、B、C三个点，作出直线AB、射线AC、线段BC吗?
〔作图〕
例3 上图中有几条直线，几条线段，几条射线?
〔解〕上图中有一条直线，三条线段，六条射线。这六条射线中，以A为顶点的射线有三条;以B为顶点的射线有两条;以C为顶点的射线有一条。
例4 数一数，下面每个图形中，点、线段和角的个数。
〔解〕上面图(1)、图(2)中各有三个点，三条线段，三个角；图(3)、(4)中各有四个点，四条线段，四个角；图(5)中有五个点，五条线段，五个角；图(6)中有六个点，六条线段，六个角。
例5 数一数，下图有几条直线?几个点?几条线段?几条射线?
〔解〕上图有一条直线，三个点，三条线段，六条射线。在六条射线中，以A点为顶点的射线有两条;以B点为顶点的射线有两条;以C点为顶点的射线有两条。
例6 数一数，下图有几条射线?几个角?
〔解〕上图有四条射线。有三个小号的角，有两个中号的角，一个大号的角，一共有六个角。
一年级下册奥数辅导16 长方形、正方形、三角形和圆
数学书的面、课桌的面、黑板的面都是长方形，形状如下图。
长方形是由四条线段连接起来的。这四条线段就是长方形的四条边。用折纸的办法就会发现，长方形相对的边一样长。
长方形长边的长度叫做长方形的“长”，短边的长度叫做长方形的“宽”。
长方形有四个角，用三角板的直角去量，就会知道，长方形的四个角都是直角。
长方形有四条边，对边相等；长方形有四个角，都是直角。
四条边都相等的长方形叫做正方形。
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
动一动手，用折纸的办法，把长方形剪成正方形。
三角板的面是三角形。如下图。
三角形是由三条线段连接成的，这三条线段就是三角形的三条边。在一个三角形中，若有两条边相等，这个三角形就叫做等腰三角形。上面图中图(2)就是等腰三角形。
三角形有三个角。在一个三角形中，若有一个角是直角，这个三角形就叫做直角三角形。图中两个三角形都是直角三角形。
上面图中图(2)不但是等腰三角形，而且是直角三角形，因此这个三角形就叫做等腰直角三角形。
看一看，下面实物中圆的图形。
请你把硬币放在纸上，用左手按住不动，右手拿笔，沿硬币的边画一周，就画出一个圆。你还可以用圆糖盒等有圆图形的物体，照样描画出圆。画圆有专门的工具-圆规。
图中，点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。圆心O不动，半径越长画出的圆就越大。图中(2)画出以O为圆心的三个同心圆。
例1 说出下图中每个图的名称。
〔解〕在图中，(1)、(2)是长方形；(3)、(6)是正方形；(4)、(8)是直角三角形；(5)、(10)是折线；(7)、(8)是等腰三角形；(8)还是等腰直角三角形；(9)是圆；(11)是三角形；(12)是线段。
例2 数一数，下图中图(1)有几个正方形?图(2)有几个长方形?
〔解〕图(1)有4个小正方形，一个大正方形。共有五个正方形。图(2)有4个小的长方形，4个中的长方形，一个大的长方形。共有9个长方形。
例3 仔细数一数，右图中有几个正方形?有几个等腰直角三角形?
〔解〕图中有两个正方形。有七个等腰直角三角形，其中五个容易在图中看到，另外两个见下图。
例4 数一数，下图是用几个圆画成的图案?
〔解〕它是用八个圆画成的图案。其中有七个圆是半径一样大的圆（称等圆）。
学识谷
