例1 已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．
一、选择题(每小题5分，共25分)
10．(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋＋＝0与线段PQ有交点，求的范围．
11．(14分)已知直线l：x－＋1＋2＝0 (∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
学案47 直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向 向上 0° ②0°≤α<180° (2)①正切值 tan α ②2－1x2－x1 2.(x2－x1，2－1) ＋B＋C＝0
直线l上 4.－0＝(x－x0) ＝x＋b －12－1＝x－x1x2－x1 xa＋b＝1(a≠0，b≠0) Ax＋B＋C＝0(A、B不同时为0) 5.x1＋x22 1＋22
自我检测
1．A 2.D 3.D 4 5.D
课堂活动区
例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解 设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan 2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tan α1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tan α－3＝0.
解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0，
∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan>0，
故直线l的斜率为13.
变式迁移1 D [直线xsin α－＋1＝0的斜率是＝sin α，
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤≤1.
当0≤≤1时，倾斜角的'范围是0，π4，
当－1≤<0时，倾斜角的范围是3π4，π.]
例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．
解 过点M且与x轴垂直的直线是轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和(0,8)，
显然不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为＝x＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组＝x＋1，x－3＋10＝0，①
＝x＋1，2x＋－8＝0，②
由①解得xA＝73－1，由②解得xB＝7＋2.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73－1＋7＋2＝0，解得＝－14.
故所求直线方程为x＋4－4＝0.
变式迁移2 解 (1)设直线l在x，轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为＝23x，即2x－3＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋a＝1，
∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3＝0或x＋－5＝0.
(2)由已知：设直线＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4＋15＝0.
例3 解题导引 先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解 设直线的方程为xa＋b＝1 (a>2，b>1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵2 2a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
当且仅当2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为x4＋2＝1，
即x＋2－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA||PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋－3＝0.
变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程为x30＋20＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－)(80－n)．
又30＋n20＝1(0≤≤30)，
∴n＝20(1－30)．
∴S＝(100－)(80－20＋23)
＝－23(－5)2＋18 0503(0≤≤30)．
∴当＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
例4 解题导引 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
解 由＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，)的直线的斜率，由图可知：
PA≤≤PB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤≤8，
故＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.
变式迁移4 C
[如图，过点M作轴的平行线与线段PQ相交于点N.
MP＝5，MQ＝－25.
当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开始增加，增大到MQ＝－25，
故直线l的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
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1．B 2.B 3.B 4 5.D
6．－2 7.[34π，π) 8.x＋－5＝0
9．解 (1)当＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当≠－1时，＝1＋1.(3分)
(2)当＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当≠－1时，AB的方程为－2＝1＋1(x＋1)，
即＝x＋1＋2＋3＋1.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或＝x＋1＋2＋3＋1.
(8分)
(3)①当＝－1时，α＝π2；
②当≠－1时，
∵＝1＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解 直线x＋＋＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
AP＝－1－10＋1＝－2，
AQ＝－1－20－2＝32，(5分)
则－1≥32或－1≤－2，
∴－23≤≤12且≠0.(9分)
又＝0时直线x＋＋＝0与线段PQ有交点，
∴所求的范围是－23≤≤12.(12分)
11．(1)证明 直线l的方程是：(x＋2)＋(1－)＝0，
令x＋2＝01－＝0，解之得x＝－2＝1，
∴无论取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解 由方程知，当≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2，在轴上的截距为1＋2，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2≤－21＋2≥1，解之得>0；(7分)
当＝0时，直线为＝1，符合题意，故≥0.(9分)
(3)解 由l的方程，得A－1＋2，0，
B(0,1＋2)．依题意得－1＋2<0，1＋2>0，
解得>0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2|1＋2|
＝121＋22＝124＋1＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是>0且4＝1，
即＝12，
∴Sin＝4，此时l：x－2＋4＝0.(14分)
学识谷
