2018届上海市奉贤区大学联考数学模拟试卷及答案

【考点】1E：交集及其运算.

【分析】求出关于A的不等式，根据集合的关系求出t的范围即可.

【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，

B={x|x

若A∩B=∅，

则实数t的取值范是：t≤﹣1;

故答案为：(﹣∞，﹣1].

5.设点(9，3)在函数f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的图象上，则f(x)的反函数f﹣1(x)=　2x+1　.

【考点】4R：反函数.

【分析】根据点(9，3)在函数f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的图象上，求解出a，把x用y表示出来，把x与y互换可得f(x)的反函数f﹣1(x).

【解答】解：点(9，3)在函数f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的图象上，

∴loga(9﹣1)=3，

可得：a=2，

则函数f(x)=y=log2(x﹣1)

那么：x=2y+1.

把x与y互换可得：y=2x+1

∴f(x)的反函数f﹣1(x)=2x+1.

故答案为：2x+1.

6.若x，y满足 ，则目标函数z=x+2y的最大值为　3　.

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).

由z=x+2y得y=﹣ x+ z，

平移直线y=﹣ x+ z，

由图象可知当直线y=﹣ x+ z经过点B时，直线y=﹣ x+ z的截距最大，

此时z最大.

由 ，解得 ，即B(1，1)，

代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3

故答案为：3.

7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为 ，则圆心C到直线l的距离为　 　.

【考点】QK：圆的参数方程.

【分析】求出圆的普通方程，利用点到直线的距离公式，可得结论.

【解答】解：圆C的参数方程为 ，普通方程为x2+(y﹣2)2=4，圆心为(0，2)，半径为2，

∴圆心C到直线l的距离为 = ，

故答案为 .

8.双曲线 =1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是　( ，+∞)∪(﹣∞，﹣ )　.

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠F1PF2为直角时P的坐标，可得∠F1PF2为锐角时点P的横坐标的取值范围

【解答】解：不妨以P在双曲线右支为例

由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，

又|PF1|﹣|PF2|=2，①

两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，

∴|PF1||PF2|=6，②

联立①②解得：|PF2|= ，

由焦半径公式得|PF2|= =ex﹣a，即可得点P的横坐标为 ，

根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是( ) ).

故答案为：是( ) )

9.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为　28π　.

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分.

【解答】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积.

圆锥S侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，

∴该几何体的表面积为28π.

故答案为28π.

10.已知数列{an}是无穷等比数列，它的前n项的和为Sn，该数列的首项是二项式 展开式中的x的系数，公比是复数 的模，其中i是虚数单位，则 =　70　.

【考点】8J：数列的极限.

【分析】由题意，该数列的首项是二项式 展开式中的x的系数 =35，公比是复数 的模 ，即可求出极限.

【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式 展开式中的x的系数 =35，

公比是复数 的模 ，

∴ = =70，

故答案为70.

11.已知实数x、y满足方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y=f(x)，则抛物线 的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为　 　.

【考点】K8：抛物线的简单性质;3J：偶函数;IR：两点间的'距离公式.

【分析】由题设条件当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y=f(x)，可知方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1，关于y轴成轴对称，故有﹣a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f(x)知，y的取值范围是，由此可以求出b的取值范围，由此点(a，b)的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为(0，﹣ )，最大距离可求

【解答】解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由﹣a+1=0，求得a=1

由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0

由此知点(a，b)的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0，1]

又抛物线 故其焦点坐标为(0，﹣ )

由此可以判断出焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大距离是 =

故答案为

12.设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，则这样的排列有　9　个.

【考点】D8：排列、组合的实际应用.

【分析】利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可.

【解答】解：x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，

可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3=6;1+1+1+3=6;0+1+2+3=6;1+1+2+2=6;

所有x1、x2、x3、x4分别为：

0+0+3+3=6;类型有：

4，2，3，1;

1+1+1+3=6;类型有：

2，3，4，1;

4，1，2，3;

0+1+2+3=6;类型有：

4，1，3，2;

4，2，1，3;

3，2，4，1;

2，4，3，1;

1+1+2+2=6;类型有：

2，4，1，3;

3，1，4，2;

共9种.

故答案为：9.

二、选择题(单项选择题，每题5分，满分20分)

13.已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)

A. ﹣ >0 ﹣siny>0 C.( )x﹣( )y<0 +lny>0

【考点】71：不等关系与不等式.

【分析】x，y∈R，且x>y>0，可得： ，sinx与siny的大小关系不确定， < ，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论.

【解答】解：∵x，y∈R，且x>y>0，则 ，sinx与siny的大小关系不确定， < ，即 ﹣ <0，lnx+lny与0的大小关系不确定.

故选：C.

14.若f(x)为奇函数，且x0是y=f(x)﹣ex的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点(　　)

A.y=f(x)ex+1 B.y=f(﹣x)e﹣x﹣1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(﹣x)ex+1

【考点】52：函数零点的判定定理;3L：函数奇偶性的性质.

【分析】由x0是y=f(x)﹣ex的一个零点知f(x0)﹣ =0，再结合f(x)为奇函数知f(﹣x0)+ =0，从而可得f(﹣x0) +1= =0.

【解答】解：∵x0是y=f(x)﹣ex的一个零点，

∴f(x0)﹣ =0，

又∵f(x)为奇函数，

∴f(﹣x0)=﹣f(x0)，

∴﹣f(﹣x0)﹣ =0，

即f(﹣x0)+ =0，

故f(﹣x0) +1= =0;

故﹣x0一定是y=f(x)ex+1的零点，

故选：A.

15.矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm.将其按图(1)的方法分割，并按图(2)的方法焊接成扇形;按图(3)的方法将宽BC 2等分，把图(3)中的每个小矩形按图(1)分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形;按图(4)的方法将宽BC 3等分，把图(4)中的每个小矩形按图(1)分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形;…;依次将宽BC n等分，每个小矩形按图(1)分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形.当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为(　　)

A.小于 B.等于 C.大于 D.大于1.6

【考点】F4：进行简单的合情推理.

【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出结论.

【解答】解：将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°.

故选C.

16.如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于(　　)

A.a：b：c B.

：sinB：sinC ：cosB：cosC

【考点】HT：三角形中的几何计算.

【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B= ∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系.

【解答】解：如图，连接OA、OB、OC;

∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，

∴∠BAC=∠BOD;

同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC;

设⊙O的半径为R，则：

OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，

OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，

OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，

故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，

故选D.

三、解答题(第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分)

17.如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2 .

(1)求异面直线PC与OE所成的角的大小;

(2)求二面角P﹣AC﹣E的大小.

【考点】MT：二面角的平面角及求法;LM：异面直线及其所成的角.

【分析】(1)方法(1)根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角;

解△PCA可得异面直线PC与OE所成的角

方法(2)如图，建立空间直角坐标系， ，E(1，1，0)

利用向量的夹角公式可得异面直线PC与OE所成的角

(2)、方法(1)、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解.

方法(2)、取AC中点为D，连接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO

解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小

【解答】解：(1)证明：方法(1)∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，

根据中点条件可以证明OE∥AC，得∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角;

所以

异面直线PC与OE所成的角是

(1)方法(2)如图，建立空间直角坐标系， ，E(1，1，0)

∴ ， ， ，

设 与 夹角θ，

异面直线PC与OE所成的角 .

(2)、方法(1)、设平面APC的法向量 ，∴ ，

平面ACE的法向量 ，

设两平面的夹角α，则 ，

所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .

方法(2)、取AC中点为D，连接PD，OD，又圆锥母线PA=AC，∴PD⊥AC，

∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC，

又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，

∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即为∠PDO，

∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°又直径 ，

∴ ，

∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD，

又 ∴△Rt△PDO中， ，

∴ 所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .

18.已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元.设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)=

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式;

(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【考点】57：函数与方程的综合运用.

【分析】(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式;

(2)分段求出函数的最大值，比较可得结论.

【解答】解：(1)利用利润等于收入减去成本，可得

当040时，W=xR(x)﹣(16x+40)=

∴W= ;

(2)当0

当x>40时，W= ≤﹣2 +7360，

当且仅当 ，即x=50时，Wmax=W(50)=5760

∵6104>5760

∴x=32时，W的最大值为6104万美元.

19.如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C.

(1)若 ，求cos∠AOC的值;

(2)若A，B，C三点共线，求线段AC的长.

【考点】HT：三角形中的几何计算.

【分析】(1)若 ，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值;

(2)若A，B，C三点共线，可得 ，利用余弦定理，即可求线段AC的长.

【解答】解：(1)设∠AOC=θ， ， ∴

=4+1×2×cos(π﹣2θ)+1×2×cos(π﹣θ)+cosθ

=﹣4cos2θ﹣cosθ+6

∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴ (舍去)

(2)A，B，C三点共线，

所以 ∴

∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴ .

20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2(n∈N*).

(1)求{an}的通项公式;

(2)设 ，b1=8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立;

(3)设 ，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*均有Rn<λ恒成立，求λ的最小值.

【考点】8H：数列递推式;8E：数列的求和.

【分析】(1)利用已知条件推出an+1=2an，数列{an}为等比数列，公比q=2，求出通项公式.

(2)推出 ，方法一：通过T1T6>推出结果.方法二利用错位相减法求和，当1≤n<4，Tn+1>Tn，当n=4，T4=T5，当n>4时，Tn+1

综上，当且仅当k=4或5时，均有Tk≥Tn.

(3)利用裂项求和，通过对任意n∈N*均有 成立，求解即可.

【解答】(本小题满分13分)

解：(1)由Sn=2an﹣2，得Sn+1=2an+1﹣2两式相减，得an+1=2an+1﹣2an

∴an+1=2an

数列{an}为等比数列，公比q=2

又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴

(2)

，

方法一当n≤5时， ≥0

因此，T1T6>…

∴对任意n∈N*均有T4=T5≥Tn，故k=4或5.

方法二(

两式相减，得 ，

=(6﹣n)•2n+1﹣12， ，

当1≤n<4，Tn+1>Tn，当n=4，T4=T5，当n>4时，Tn+1

综上，当且仅当k=4或5时，均有Tk≥Tn

(3)∵

∴ =

∵对任意n∈N*均有 成立，

∴ ，

所以λ的最小值为 .

21.已知椭圆E： ，左焦点是F1.

(1)若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆E上.求椭圆E的方程;

(2)过原点且斜率为t(t>0)的直线l1与(1)中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1(0，1)，A1(2，0)，求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程;

(3)过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p(p>0)于点P，其中p是常数，设 ， ，计算λ+μ的值(用p，a，b的代数式表示).

【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题;K3：椭圆的标准方程;KL：直线与椭圆的位置关系.

【分析】(1)利用左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆E上.列出方程组求解a，b可得椭圆方程.

(2)设直线l1的方程y=tx，联立 ，求解 ， ， ，推出四边形A1GB1H的面积，求出最大值，然后求解直线方程.

(3)设直线l2的方程y=k(x+c)交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用韦达定理，结合

题设 ， ，求解λ+μ即可.

【解答】(本小题满分13分)

解：(1)左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆E上.

∴ ，所以椭圆方程

(2)设直线l1的方程y=tx

联立 ，可以计算

∴ ，

所以直线l1的方程是

(3)设直线l2的方程y=k(x+c)交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M(x1，y1)，N(x2，y2)，

(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，

直线l2交直线x=﹣p(p>0)于点P，根据题设 ， ，

得到(x1+p，yp)=λ(﹣c﹣x1，0﹣y1)，(x1+p，yp)=λ(﹣c﹣x2，0﹣y2)，

得 ，

=

=

λ+μ的值为： 结论