(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那麼 叫做 的 次方根(n th root),其中 1,且 *.
當 是奇數時,正數的 次方根是一個正數,負數的 次方根是一個負數.此時, 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical),這裏 叫做根指數(radical exponent), 叫做被開方數(radicand).
當 是偶數時,正數的 次方根有兩個,這兩個數互為相反數.此時,正數 的正的 次方根用符號 表示,負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合併成 ( 0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。
注意:當 是奇數時, ,當 是偶數時,
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義,規定:
,
0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義
指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實數指數冪的運算性質
(1) ;
(2) ;
(3) .
(二)指數函數及其性質
1、指數函數的概念:一般地,函數 叫做指數函數(exponential ),其中x是自變量,函數的`定義域為R.
注意:指數函數的底數的取值範圍,底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
a1
圖象特徵
函數性質
向x、y軸正負方向無限延伸
函數的定義域為R
圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過定點(0,1)
自左向右看,
圖象逐漸上升
自左向右看,
圖象逐漸下降
增函數
減函數
在第一象限內的圖象縱座標都大於1
在第一象限內的圖象縱座標都小於1
在第二象限內的圖象縱座標都小於1
在第二象限內的圖象縱座標都大於1
圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢,到了某一值後增長速度極快;
函數值開始減小極快,到了某一值後減小速度較慢;
注意:利用函數的單調性,結合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對於指數函數 ,總有 ;
(4)當 時,若 ,則 ;
二、對數函數(一)對數
1.對數的概念:一般地,如果 ,那麼數 叫做以 為底 的對數,記作: ( 底數, 真數, 對數式)
説明:1 注意底數的限制 ,且 ;
2 ;
兩個重要對數:
1 常用對數:以10為底的對數 ;
2 自然對數:以無理數 為底的對數的對數 .
對數式與指數式的互化
對數式 指數式
對數底數 冪底數
對數 指數
真數 冪
(二)對數的運算性質
如果 ,且 , , ,那麼:
1
2 - ;
3 .
注意:換底公式
( ,且 ; ,且 ; ).
利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .
(二)對數函數
1、對數函數的概念:函數 ,且 叫做對數函數,其中 是自變量,函數的定義域是(0,+).
注意:1 對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別。
如: , 都不是對數函數,而只能稱其為對數型函數.
2 對數函數對底數的限制: ,且 .
2、對數函數的性質:
a1
圖象特徵
函數性質
函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0,+)
圖象關於原點和y軸不對稱
非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸
函數的值域為R
函數圖象都過定點(1,0)
自左向右看,
圖象逐漸上升
自左向右看,
圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱座標都大於0
第一象限的圖象縱座標都大於0
第二象限的圖象縱座標都小於0
第二象限的圖象縱座標都小於0
(三)冪函數
1、冪函數定義:一般地,形如 的函數稱為冪函數,其中 為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0,+)都有定義,並且圖象都過點(1,1);
(2) 時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間 上是增函數.特別地,當 時,冪函數的圖象下凸;當 時,冪函數的圖象上凸;
(3) 時,冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內,當 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當 趨於 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第三章 函數的應用一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念:對於函數 ,把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義:函數 的零點就是方程 實數根,亦即函數 的圖象與 軸交點的橫座標。即:
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.
3、函數零點的求法:
求函數 的零點:
1 (代數法)求方程 的實數根;
2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數 的圖象聯繫起來,並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點:
二次函數 .
1)△0,方程 有兩不等實根,二次函數的圖象與 軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.
2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與 軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.
3)△0,方程 無實根,二次函數的圖象與 軸無交點,二次函數無零點.