關於六年級奧數數論綜合講座

【分析與解】555555=5×111×1001

數論綜合

進位制的概念、四則運算法則及整數在不同進位制之間的轉化，利用恰當的進位制解數論問題．取整符號[]與取小數部分符號{}的定義與基本性質，包含這兩種符號的算式與方程的求解．兩次與分式不定方程，不便直接轉化為不定方程的數論問題．各種數論證明題．

典型問題

【分析與解】 注意到尾數，在足夠大的進位制中有乘積的個位數字為4×5=20，但是現在為4，説明進走20－4=16，所以進位製為16的約數：16、8、4、2．

2．求方程19[x]－96{x}=0的'解的個數．

【分析與解】 有{x}為一個數的小數部分，顯然小於1，則96{x}小於96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小於96，即[x]小於 ，又[x]為整數，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，對應有6組解．

4．將 表示成兩個自然數的倒數之和，請給出所有的答案．

【分析與解】 記標有1為第1號，序號順時針的依次增大．當超過一圈時，編號仍然依次增加，如1號也是2001號，4001號，……

4.對於兩個不同的整數，如果它們的積能被和整除，就稱為一對“好數”，例如70與30．那麼在1，2，…，16這16個整數中，有“好數”多少對?

6．甲、乙兩人進行下面的遊戲：兩人先約定一個自然數N，然後由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數字中的一個填入圖28-1的某個方格中，每一方格只能填一個數字，但各方格所填的數字可以重複．當6個方格都填有數字後，就形成一個六位數．如果這個六位數能被N整除，那麼乙獲勝；如果這個六位數不能被N整除，那麼甲獲勝．設N小於15，問當N取哪幾個數時．乙能取勝?

8.已知 與 的最大公約數是12， 與 的最小公倍數是300， 與 的最小公倍數也是300．那麼滿足上述條件的自然數 ， ， 共有多少組?

10．圓周上放有N枚棋子，如圖28-2所示，B點的那枚棋子緊鄰A點的棋子．小洪首先拿走B點處的1枚棋子，然後沿順時針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續轉了10周，9次越過A．當將要第10次越過A處棋子取走其他棋子時，小洪發現圓周上餘下20多枚棋子．若N是14的倍數，請精確算出圓周上現在還有多少枚棋子?

【分析與解】 設圓周上餘 枚棋子，從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋子時，小洪拿了2 枚棋子，所以在第9次將要越過A處棋子時，圓周上有3 枚棋子． ．

12．是否存在一個六位數A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一個數的末尾6個數碼不全相同?

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2．老師在黑板上依次寫了三個數21、7、8，現在進行如下的操作，每次將這三個數中的某些數加上2，其他數減去1，試問能否經過若干次這樣的操作後，使得：

3．對於n個奇質數，如果其中任意奇數個數的和仍是質數，那麼稱這些數構成“奇妙數組”，而n就是這個數組的“階數”．例如11，13，17就是“奇妙數組”，因為11，13，17和11+13+17=41都是質數．

有7，13，11，23滿足(和依次為47，4l，43，31)．它們的乘積為7×13×11×23=23023．所以4階“奇妙數組”的4個數最小乘積為23023．

評註：四階的“奇妙數組”還有很多，如97，13，41，53．它們的三個數和依次為107，191，163，

151均是質數．