实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明

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§1. 关于实数的基本定理

一子列定义1 在数列 EMBED 4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 EMBED 4 的子列，记为 EMBED 4 。子列的极限和原数列的极限的关系

定理1 EMBED 4 若 EMBED 4 ，则 EMBED 4 的任何子列 EMBED 4 都收敛，并且它的极限也等于 EMBED 4 。

注：该定理可用来判别 EMBED 4 不收敛。例：证明 EMBED 4 不收敛。

推论：若对任何 EMBED 4 ： EMBED 4 都有 EMBED 4 收敛，则 EMBED 4 在 EMBED 4 的极限存在。

二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义

定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。

定理3 单调有界数列必收敛.

三区间套定理区间套: 设 EMBED 4 是一闭区间序列. 若满足条件

ⅰ> 对 EMBED 4 , 有 EMBED 4 EMBED 4 EMBED 4 ;

ⅱ> EMBED 4 EMBED 4 .

则称该闭区间序列为为区间套 .

注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.( 都不是).

例： EMBED 4 和 EMBED 4 都是区间套.但 EMBED 4

定理4设 EMBED 4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 EMBED 4 属于所有的'区间。

注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。

四致密性定理

定理5 任一有界数列必有收敛子列。

推论若 EMBED 4 是一个无界数列，则存在子列 EMBED 4 。

五 Cauchy收敛原理

定理6 数列 EMBED 4 收敛 EMBED 4 EMBED 4 当 EMBED 4 时，有 EMBED 4 。

注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。

例：设 EMBED 4 ，证明 EMBED 4 发散。

例：设 EMBED 4 ，证明 EMBED 4 收敛。

六有限覆盖定理复盖: 先介绍区间族 EMBED 4 .

定义 (复盖 )：设 EMBED 4 是一个数集, EMBED 4 是区间族.若对 EMBED 4 使得 EMBED 4 , 则称区间族 EMBED 4 复盖了 EMBED 4 , 或称区间族 EMBED 4 是数集 EMBED 4 的一个复盖. 记为 EMBED 4 若每个 EMBED 4 都是开区间，则称区间族 EMBED 4 是开区间族.开区间族常记为 EMBED 4 .

定义 (开复盖 )：数集 EMBED 4 的一个开区间族复盖称为 EMBED 4 的一个开复盖,简称为 EMBED 4 的一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.

例： EMBED 4 复盖了区间 EMBED 4 , 但不能复盖 EMBED 4 。

定理7 闭区间 EMBED 4 的任一开复盖必有有限子复盖。

注：在定理的条件中，若 EMBED 4 不是开区间集，或 EMBED 4 为非闭区间，则从 EMBED 4 中就不一定能选出有限个区间来覆盖。

§2闭区间上连续函数性质的证明

一有界性定理定理1 闭区间 EMBED 4 上的连续函数必定有界。

注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。

二最大值和最小值定理定理2 闭区间 EMBED 4 上的连续函数必定有最大值和最小值。

三零点存在定理定理3 EMBED 4 在闭区间 EMBED 4 连续，且 EMBED 4 ，则 EMBED 4 在 EMBED 4 内至少有一个根。

证法一(用区间套定理); 证法二(用确界原理); 证法三 (用有限复盖定理)。

四一致连续性定理定理4 闭区间 EMBED 4 上的连续函数 EMBED 4 必定一致连续。