篇一:九年级数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
a0)b,c是常数,1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc(a,的函数,叫做二次函数。 这
c可以为零.二次函数的定义域是全体实里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,
数.
2. 二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. ⑵ a,
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:yax2的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. yax2c的性质: 上加下减。
3. yaxh的性质:
左加右减。
2
4. yaxhk的性质:
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k; ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yax2bxc变成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yax2bxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较
从解析式上看,yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2
者,即yax,其中h,. k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b
1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为.
2a4a2a
当x
bbb
时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y有最小2a2a2a
4acb2
值.
4a
b4acb2bb
2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为时,y随.当x
2a4a2a2a
4acb2bb
. x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
2. 顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
3. 两根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴ 当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵ 当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a0的前提下,
当b0时,当b0时,
b
0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2a
b
0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a
b
0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a
⑵ 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b0时,当b0时,当b0时,当b0时,
b
0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 2a
b
0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a
b
0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定:对称轴x
b
在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是2a
“左同右异” 总结:
3. 常数项c
⑴ 当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵ 当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;⑶ 当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要a,
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
ya2xbx关于cx轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是yaxhk;2. 关于y轴对称
ya2xbx关于cy轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是yaxhk;3. 关于原点对称
ya2xbx关于原点对称后,得到的解析式是cyax2bxc; yaxh关于原点对称后,得到的解析式是kyaxhk;
2
2
22
4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
b2
yaxbx关于顶点对称后,得到的解析式是cyaxbxc;
2a
2
2
yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是yaxhk.5. 关于点m,n对称
n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk yaxhk关于点m,
2
2
22
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
① 当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次
方程axbxc0a
0的两根.这两点间的距离ABx2x1.
2
② 当0时,图象与x轴只有一个交点; ③ 当0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0. 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
篇二:九年级数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc(a,的函数,叫做二次函数。 这b,c是常数,a0)里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式yaxhk的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
k; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k处,具体平移方法如下:
⑵ 保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成
2
2
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yaxbxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yaxbxc变成
2
2
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较
从解析式上看,yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2
者,即yax,其中h,. k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴的交点0,
没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b
1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为.
2a4a2a
当x
bbb
时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y有最小2a2a2a
4acb2
值.
4a
b4acb2bb
2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为时,y随.当x
2a4a2a2a
4acb2bb
. x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值
4a2a2a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0); 2. 顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
3. 两根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.a决定了抛物线开口的大小和方向,a
的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
ab的符号的判定:对称轴x
b
在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是2a
“左同右异”
3. 常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置. 总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
① 当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两根.
这两点间的距离ABx2x1② 当0时,图象与x轴只有
2
一个交点; ③ 当0时,图象与x轴没有交点.1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任
何实数,都有y0;2' 当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
二次函数考查重点与常见题型
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点, 则m的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykxbx1的图像大致是( )
2
2
2
3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x
5
,求这条抛物线的解析式。 3
4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 3
已知抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
2(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,)在( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ca
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
2
例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+cO,其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
2
2
x=2,则抛物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2) 答案:C
例4、已知抛物线y=
125x+x-. 22
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是()
2
2
2
A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位,得到的抛物线是()
A. y2(x1) B. y2(x1)C. y2x1D. y2x1 3.函数ykxk和y
2
2
2
2
k
(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x
4.已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),
2
由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两个根分别是x11.3和x2
2
2
()
A.-1.3 B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示,则点(ac,bc)在( )
A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.方程2xx
2
2
2
的正根的个数为() x
A.0个 B.1个C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. yxx2 B. yxx2
C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2
2
2
2
2
2
2
篇三:2015九年级数学二次函数知识点总结完整版
一、二次函数概念:
b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc(a, c可以为零.二次函数的 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,
定义域是全体实数.
2. 二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. ⑵ a,
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:yax2的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. yax2c的性质: 上加下减。
3. yaxh的性质:
左加右减。
2
4. yaxhk的性质:
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k; ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 四、二次函数yaxh与 xbx的比较ckya2
从解析式上看,yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得b4acb2b4acb2
到前者,即yax,其中h,. k
2a4a2a4a
2
2
2
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b
1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为.
2a4a2a
当x当x
b
时,y随x的增大而减小; 2a
b
时,y随x的增大而增大; 2a
b4acb2
当x时,y有最小值.
2a4a
b4acb2bb
2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为时,
.当x
2a4a2a2a
4acb2bb
. y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0); 2. 顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
3. 两根式(交点式):ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵ 当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大. 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b为0对称轴为y轴)3. 常数项c
⑴ 当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵ 当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;⑶ 当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
0,Bx2,0(x1x2),① 当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,其中的x1,x2是一元二
次方程ax2bxc0a0的两根.. ② 当0时,图象与x轴只有一个交点;
③ 当0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0; 2' 当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0. 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是()
2
A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位,得到的抛物线是()
2
A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()
4.已知二次
函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是()
A.-1.3 B.-2.3C.-0.3D.-3.3
6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限 7.方程的正根的个数为()
A.0个 B.1个C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.C. 或D. 或
二、填空题
9.二次函数的对称轴是,则_______。
10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.
11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。
12.抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。 13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c=。
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(π取3.14).
三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,). (1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式 (0<t≤2),其中重力加速度g以10米/秒计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,
(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?
(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.
17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使:5 :4的点P的坐标。
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
2
第15题图
篇五:史上最全九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax2的性质
(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数yax2的图像与a的符号关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0). 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
b2a
4acb4a
2
2
4.二次函数yaxbxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中h
2
2
,k.
2
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①yax2;②yax2k;③yaxh;④yaxhk;⑤yax2bxc.
6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:yax
2
b4acb
bxcax
2a4a
2
2
b4acb
(),对称轴是直线x,∴顶点是.
2a2a4a
2
b
2
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线
xh.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线
x
b2a
,故:①b0时,对称轴为y轴;②
ba
0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③
ba
0(即a、
b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c): ①c0,抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
ba
0.
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:yaxhk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
2
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).
2
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah (3)抛物线与x轴的交点
2
bhc).
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bxc0的两
个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切; ③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横
坐标是ax2bxck的两个实数根.
(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,由方程组
ykxnyax
2
bxc
l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是
方程ax2bxc0的两个根,故
x1x2
ba
,x1x2
ca
2
ABx1x2
x1x2x1x24x1x2
2
4cb
aa
2
b4aca
2
a
第二部分 典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是( D )
A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )
A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
第2,3题图 第4题图
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( D )A.a>0,b<0,c>0 B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知ABC中,BC=8,BC上的高h4,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、
B),设E到BC的距离为x,则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( D )
C
2
D
EF8
4x4
EF82x,yx
4x
5.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为
6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结论:①当x=-2时,y=1;②当x>x2时,y>0;③方程kx2+(2k-1)x1=0有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<1,x2>-1;⑤
k
x2-x1,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).
7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为yx2b10xc. (1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y2xb上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2xb的解析式. 解:(1)yx10或yx4x6
b102
b16b100
4
2
2
2
将得cb.顶点坐标为((0,b)代入,,),由题意得2
b102
b
b16b100
4
2
,
解得b110,b26.
(2)y2x2
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解:(1)设所求二次函数的解析式为yax2bxc,
a(2)2b(2)c5c3a1
则a02b0c3,即2ab4 ,解得b2 abc4c3ab1
故所求的解析式为:yx22x3. (2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y为正数时, 输入值x的取值范围是x1或x3.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式.
解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶y
116
x2x2410x22
2
2
夜的体温变化情况绘制成下
的体温是上升的它的体温
第9题
10.已知抛物线yax(
43
3a)x4与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得 △ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不 存在,请说明理由.
解:依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
篇六:国中数学二次函数知识点总结
国中数学二次函数知识点总结 原文阅读
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点A(x,0)和 B(x,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的'交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是会考的热点考题,往往以大题形式出现.
篇七:九年级数学二次函数知识点总结
九年级数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如yaxbxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数yaxbxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
2
2
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:yax的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
2. yaxc的性质: 上加下减。
2
3.
yaxh
2
的性质:
左加右减。
4.
yaxhk
2
的性质:
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线
yax
2
yaxhk
2
,确定其顶点坐标
h,k;
的形状不变,将其顶点平移到
h,k处,具体平移方法如下:
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴
yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成
2
2
22
yaxbxcm(或yaxbxcm)
yaxbxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yaxbxc变成ya(xm)b(xm)c⑵
ya(xm)b(xm)c) (或
四、二次函数
yaxhk
2
222
2
与
2
yaxbxc
2
2
的比较
是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
从解析式上看,
yaxhk
与
yaxbxc
2
b4acbb4acb
yaxh,k
2a4a2a4a,其中.
2
2
五、二次函数
yaxbxc
2
图象的画法
yaxbxc
2
五点绘图法:利用配方法将二次函数
,确定其开口方向、对称轴及顶
0,c、以及0,cy
点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点关于对称轴对称的点点).
化为顶点式
ya(xh)k
2
2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的
y
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与 六、二次函数
yaxbxc
2
轴的交点.
的性质
b
2
b4acb
x
2a4a. a02a 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为
x
b
2a时,y随x的增大而减小;当
x
b
2a时,y随x的增大而增大;当
x
b
2a时,y有最小值
4acb4a
2
当.
2b4acbbxx
4a.当2a,顶点坐标为2a2a时,y随x的增大 2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为
b
x
b
2a时,y随x的增大而减小;当
x
b
2a时,y有最大值
4acb4a
2
而增大;当.
七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:2. 顶点式:
yaxbxc
2
2
(a,b,c为常数,a0); (a,h,k为常数,a0);
ya(xh)k
ya(xx1)(xx2)xx
3. 两根式:(a0,1,2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有
交点,即b4ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a
二次函数
yaxbxc
2
2
中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴ 当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵ 当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,2. 一次项系数b
a
的大小决定开口的大小.
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a0的前提下,
b2ab2ab2a
当b0时,当b0时,当b0时,
,即抛物线的对称轴在0
y
轴左侧;
y
,即抛物线的对称轴就是0
轴;
,即抛物线对称轴在
y
轴的右侧.
⑵ 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b2ab2ab2a
当b0时,当b0时,当b0时,
,即抛物线的对称轴在0
y
轴右侧;
y
,即抛物线的对称轴就是0
轴;
,即抛物线对称轴在
y
轴的左侧.
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定:对称轴
总结:3. 常数项c
x
b
2a在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是“左同右异”
yy
⑴ 当c0时,抛物线与轴的交点在x轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; yy
⑵ 当c0时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为0; yy
⑶ 当c0时,抛物线与轴的交点在x轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与 总之,只要
二次函数解析式的确定:
a,b,c
y
轴交点的位置.
都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
yaxbxc
2
2
yaxbxc
关于x轴对称后,得到的解析式是;
2
yaxhk
关于x轴对称后,得到的解析式是
yaxhk
2
;
2. 关于
y
轴对称
2
yaxbxc
2
关于
y
轴对称后,得到的解析式是
y
yaxbxc
2
2
;
yaxhk
关于轴对称后,得到的解析式是
yaxhk
;
3. 关于原点对称
yaxbxc
2
2
关于原点对称后,得到的解析式是
yaxbxc
2
2
;
yaxhk
关于原点对称后,得到的解析式是
yaxhk
;
4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
yaxbxc
2
b
2
yaxbxc
2
2
关于顶点对称后,得到的解析式是
2
2a;
yaxhk
关于顶点对称后,得到的解析式是
yaxhk
.
5. 关于点
m,n对称
2
yaxhk
m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m关于点
2
2nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a
永远不变.求抛物线的对称抛
物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
2
yaxbxcy0
一元二次方程axbxc0是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
2Ax1,0,Bx2,0(x1x2)x,x2
① 当b4ac0时,图象与x轴交于两点,其中的1是一元二次方程
2
axbxc0a
2
ABx2x1
的两根.这两点间的距离.
② 当0时,图象与x轴只有一个交点; ③ 当0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
篇八:国中数学二次函数知识点总结
二次函数的图象与性质
二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大(小)值
y = ax2 a>0时,开口向上;a<0抛时,开口向下。
x=0 (0,0) 当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大;
当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小。 a="">0时,当x=0时,=0;
当a<0时,当x=0时,=0;
y = ax2+c x=0 (0,c) 当a>0时,当x=0时,=c;
当a<0时,当x=0时,=c;
y = a(x-h)2 x=h (h,0) 当a>0时,当x=h时,y最小=0;
当a<0时,当x=h时,y最大=0;
y = a(x-h)2 +k x=h (h,k) 当a>0时,当x=h时,y最小=k;
当a<0时,当x=h时,y最大=k;
y = ax2+bx+c x= (,) 当a>0时,当x=h时,y最小=k;
当a<0时,当x=h时,y最大=k;
其中h=,k=
★二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a(x-h)2 以及y = a(x-h)2 +k的形状相同,只是位置不同,相互之间可以通过平移得到,一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a(x-h)2 +k的形式。
3.二次函数的解析式
二次函数解析式常见有三种形式:
①一般式:y = ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)
②顶点式:y = a(x-h)2 +k(a、h、k是常数,且a≠0)
③交点式:y=a(x-x1)( x-x2)(a、x1、x2是常数,且a≠0,x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)。
★抛物线y = ax2 的开口大小由∣a∣决定:∣a∣越大,开口越小;∣a∣
越小,开口越大。
一般式
y=ax+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ;
顶点式
y=a(x-h)2;+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2;的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b2-4ac≥0] ;由一般式变为交点式的步骤:∵
X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax2;+bx+c=a(x2;+b/ax+c/a)
=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地,当h=0时,
二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)a,b同号,对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a
开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右。事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于(0,C)注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时,二次函数图像与x轴有1个交点。a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点_______当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x>h范围内事增函数,在x<h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
7.定义域:R值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。周期性:无解析式:①y=ax2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;⑶极值点:(-b>0,图象与x轴交于两点:([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);Δ=0,图象与x轴交于一点:(-b/2a,0);Δ<0,图象与x轴无交点;②y=a(x-h)2+k[顶点式]此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b k="(4ac-b2)/4a;③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)对称轴X=(X1+X2)/2" a="">0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0
且X≦(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
两图像对称
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称;②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称;③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h﹚2+k关于顶点对称;④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h﹚2-k关于原点对称。
篇九:中学数学二次函数知识点总结教案
二次函数知识点总结
二次函数知识点:
1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc(a、b、c是常数,a0)的函数,叫做二次函数这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b、c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a、b、c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二次函数的基本形式
ya(xh)2k的性质:
总结:
二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式ya(xh)k,确定其顶点坐标(h,k); ⑵ 保持抛物线yax的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
2
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成“自变量加减左右移,函数加减上下移”.
二次函数yaxbxc的性质 对称轴为x
2
b2a
,顶点坐标为(
b2a
,
4acb4a
b2ab2a
2
)
1.当a0时,抛物线开口向上,. 当x
b2ab2a
时,y随x的增大而减小;当x
b2ab
时,y随x的增大而增大;当x
时,ymin
4acb4a
2
.2.
当a0时,抛物线开口向下, 当x
时,y随x的增大而增大;当x
2a
时,y随x的增大而减小;当x
y时,
ymax
4acb4a
2
.
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
2. 顶点式:ya(xh)k(a,h,k为常数,a0),其中h
2
b2a
4a
3. 两根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
,k
4acb
2
;
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
① 当b24ac0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程
axbxc0(a
0)的两根.这两点间的距离AB|x1x2|
2
|a|
.
② 当0时,图象与x轴只有一个交点;
③ 当0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'
当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
2
2. 抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a、b、c的符号,或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
2
篇十:2015北京数学九年级二次函数知识点总结
九年级数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念:
a0)b,c是常数,1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bxc(a,的函数,叫做二次函数。 这
c可以为零.二次函数的定义域是全体实里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,
数.
2. 二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. ⑵ a,
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式yaxhk的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
k; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,
2
⑵ 保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成
2
2
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yax2bxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c) 四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较
从解析式上看,yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2
者,即yax,其中h,. k
2a4a2a4a
2
2
2
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b4acb2b
1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为.
2a4a2a
当x
bbb
时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y有最小2a2a2a
4acb2
值.
4a
b4acb2bb
2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为时,y随.当x
2a4a2a2a
bb4acb2
. x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0); 2. 顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
3. 两根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.a决定了抛物线开口的大小和方向,a
的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
ab的符号的判定:对称轴x
b
在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是2a
“左同右异”
3. 常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置.
b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要a,
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
① 当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两根.
这两点间的距离ABx2x1. ② 当0时,图象与x轴只有
2
一个交点; ③ 当0时,图象与x轴没有交点.1' 当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任
何实数,都有y0;2' 当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
二次函数考查重点与常见题型
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点, 则m的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
2
如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykxbx1的图像大致是( )
2
2
3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x
5
,求这条抛物线的解析式。 3
4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 3
已知抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
2(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,)在( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ca
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
2
例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+cO,其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
2
2
x=2,则抛物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2) 答案:C
例4、已知抛物线y=
125x+x-. 22
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数yx24x7的顶点坐标是()
A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线y2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是()
A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. y2x21 3.函数ykx2k和y
k
(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x
4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两个根分别是x11.3和x2()
A.-1.3 B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示,则点(ac,bc)在( )
A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.方程2xx
2
2
2
2
2
的正根的个数为() x
A.0个 B.1个C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. yxx2 B. yxx2
C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2
2
2
2
2
2
2