同角三角函数的基本关系式是三角函数基础知识的综合应用,是大学联考必考内容。本文是小编整理同角三角函数间的关系的资料,仅供参考。
同角三角函数间的关系平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系:
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
互余角的三角函数间的关系:
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
同角三角函数基本关系三类:
一)同角三角函数的基本关系:
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1;
tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1;
(secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1
二)诱导公式,在360°内的变换(角度制):
取值 sinθ cosθ tanθ
α sinα cosα tanα
-α -sinα cosα -tanα
180+α -sinα -cosα tanα
180-α sinα -cosα -tanα
360+α sinα cosα tanα
360-α -sinα cosα -tanα
90+α cosα -sinα -cotα
90-α cosα sinα cotα
270+α -cosα sinα -cotα
270-α -cosα -sinα cotα
三)两个角的变换关系,不属于国中内容:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
同角三角函数公式起源“三角学”,英文Trigonometry,法文Trigonometrie,德文Trigonometrie,都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》,创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(测量)两字构成的,原意为三角形的测量,或者说解三角形。古希腊文里没有这个字,原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候,由于垦殖和畜牧的.需要,人们就开始作长途迁移;后来,贸易的发展和求知的欲望,又推动他们去长途旅行。在当时,这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或者经水路沿着海岸线作长途航行,无论是那种方式,都首先要明确方向。那时,人们白天拿太阳作路标,夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路,也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确的道路。
就这样,最初的以太阳和星星为目标的天文观测,以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说,三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
公元五世纪到十二世纪,印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具,是一个附属品,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的,他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。
我们已知道,托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表,它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同,他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应,即将AC与∠AOC对应(如图五 ),这样,他们造出的就不再是”全弦表”,而是”正弦表”了。
印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”,是弓弦的意思;称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”,阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪,阿拉伯文被转译成拉丁文,这个字被意译成了”sinus”。