关于巧用三角函数求解物理量极值问题

三角函数求物理量的极值，往往是求出与被求物理量相关的三角函数表达式，经过三角函数的相关知识化简，再利用三角函数的有界性或不等式等知识进行处理得出结论.下面我们就来看几例利用三角函数求解物理极值的问题，以求在教学中能对培养学生的这方面能力有所帮助.

　　1 利用两角和（差）公式及三角函数有界性求解

解析 根据质点受力情况和牛顿第二定律，可知质点在光滑斜轨道上的加速度

a=FM=gcosα，

在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，

由几何知识有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.

则质点沿PA做v0=0的匀加速直线运动的时间为

t=2sa=2hgcos（θ-α）cosα.

令y=cos（θ-α）cosα，则由“积化和差”公式：

cosβcosα =12，

得y=12，

此时时间的最小值t=2hgymax=2hg（cosθ+1）.

本题不用“积化和差”公式而用其他办法也可求极值，但比较麻烦.另外此题结论可用“等时圆”加以验证.

　　2 利用“化一”法求三角函数极值

对于较为复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时，先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”.

因为 y=asinθ+bcosθ

=a2+b2（aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ）

=a2+b2（cossinθ+sincosθ）

=a2+b2sin（θ+），

其中tan=bal，故y的极大值为a2+b2.

例2 如图2所示，在竖直放置的光滑绝缘圆环上，有一带负电可以滑动的小球m套在环的'顶端，整个装置在图示的正交的匀强磁场中，磁场与圆环的圆面垂直，若小球所受的电场力和重力大小相等，则当小球沿着环相对圆心滑过的角度多大时，它所受的洛伦兹力最大？

解析 因小球运动的v总与B垂直，故洛伦兹力表达式为：f=Bqv，只要速度达最大，洛伦兹力即最大，则由动能定理知当合外力做功WE+WG最大时满足条件，设小球从图示位置转过θ角，则

WE+WG=Eqrsinθ+mgr（1-cosθ）

=mgr（sinθ-cosθ+1）

=mgr2sin（θ-45°）+1.

由上式知当θ=145°时合外力做功最大.即物体获得速度最大，满足条件.

　　3 利用基本不等式与三角函数结合来处理

如果a，b，c为正数，则有a+b+c≥3abc，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号.

推论：

①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小；

②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大.

例3 如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？

解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则

将（3）式左右都平方，并整理成

=427（2kQa2）2，

所以E≤43kQ9a2.

就是说，当θ=arctan2（差不多是55°）时，P点的电场强度最大：

Emax=43kQ9a2.

　　4 利用导数法求解三角函数极值问题

若物理量曲线的切线的斜率为零时，说明这个时候物理量的变化率为零，这时，该物理量一定具有极值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是变化过程中的极值.这为我们求物理量的最大值和最小值提供了方法.

例4 一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力功率的最大值？

解析 设小球运动到与水平方向成α角，则速度v和重力mg之间的夹角也为α，小球从A到C由动能定理

由功率定义式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，对功率P求导：

P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα

解得sinα=33时P具有极值，再求P在sinα=33处的二阶导数，p″=-mg2gRcosαsinα